《2025年全优课堂九年级数学下册华师大版》

9. 已知点$A(-1,0)$在抛物线$y = ax^2 + 2$上，则此抛物线的表达式为( )
A. $y = x^2 + 2$
B. $y = x^2 - 2$
C. $y = -x^2 + 2$
D. $y = -2x^2 + 2$

答案： D　提示:将点A(−1,0)的坐标代入表达式y=ax²+2得a+2=0,解得a=−2,故函数表达式为y=−2x²+2。

10. 若二次函数$y = ax^2 + bx + c$的$x$与$y$的部分对应值如下表：

则当$x = 1$时，$y$的值为( )

A. 5
B. -3
C. -13
D. -27

答案： D　提示:设二次函数的表达式为y=a(x−h)²+k。
∵当x=−4或x=−2时,y=3,由抛物线的对称性可知h=−3,k=5,
∴y=a(x+3)²+5。把(−2,3)代入得a=−2,
∴二次函数的表达式为y=−2(x+3)²+5,当x=1时,y=−27。

11. 二次函数的图象如图所示，则它的表达式是( )

A. $y = 2x^2 - 4x$
B. $y = -x(x - 2)$
C. $y = -(x - 1)^2 + 2$
D. $y = -2x^2 + 4x$

答案： D　提示:根据图象可知抛物线的顶点坐标为(1,2)。设抛物线表达式为y=a(x−1)²+2,将(2,0)代入表达式得0=a+2,解得a=−2,则抛物线表达式为y=−2(x−1)²+2=−2x²+4x。

12. 过点$A(1,0)$，$B(3,0)$，$C(-1,2)$三点的抛物线的顶点坐标是( )
A. $(1,2)$
B. $(1,\frac{2}{3})$
C. $(-1,5)$
D. $(2,-\frac{1}{4})$

答案： D　提示:设抛物线的表达式为y=ax²+bx+c,把A(1,0),B(3,0),C(−1,2)的坐标分别代入得$\begin{cases}a + b + c = 0\\9a + 3b + c = 0\\a - b + c = 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=\frac{1}{4}\\b = -1\\c=\frac{3}{4}\end{cases}$，
∴−$\frac{b}{2a}$=2,$\frac{4ac - b^{2}}{4a}$=−$\frac{1}{4}$，
∴顶点坐标是(2,−$\frac{1}{4}$)。

13. 比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线$y = -\frac{1}{4}x^2 + bx + c$的一部分(如图)，其中出球点$B$距地面的距离是1 m，球落地点$A$到点$O$的距离是4 m，那么这条抛物线的表达式是( )

A. $y = -\frac{1}{4}x^2 + \frac{3}{4}x + 1$
B. $y = -\frac{1}{4}x^2 + \frac{3}{4}x - 1$
C. $y = -\frac{1}{4}x^2 - \frac{3}{4}x + 1$
D. $y = -\frac{1}{4}x^2 - \frac{3}{4}x - 1$

答案： A　提示:
∵出球点B离地面的距离是1m,球落地点A到点O的距离是4m,
∴点B的坐标为(0,1),点A坐标为(4,0)。将这两点坐标分别代入关系式得$\begin{cases}c = 1\\-4 + 4b + c = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}b=\frac{3}{4}\\c = 1\end{cases}$，
∴这条抛物线的表达式是y=−$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{4}$x+1。

14. 如图，二次函数$y = x^2 + bx + c$的图象过点$B(0,-2)$.它与反比例函数$y = -\frac{8}{x}$的图象交于点$A(m,4)$，则这个二次函数的表达式为( )

A. $y = x^2 - x - 2$
B. $y = x^2 - x + 2$
C. $y = x^2 + x - 2$
D. $y = x^2 + x + 2$

答案： A　提示:将A(m,4)的坐标代入反比例函数表达式得4=−$\frac{8}{m}$，解得m=−2,
∴A(−2,4)。将A(−2,4),B(0,−2)的坐标分别代入二次函数表达式得$\begin{cases}4 - 2b + c = 4\\c = -2\end{cases}$，解得$\begin{cases}b = -1\\c = -2\end{cases}$，则二次函数的表达式为y=x²−x−2。

15. 一个二次函数图象的顶点坐标为$(2,1)$，形状与抛物线$y = -2x^2$相同，试写出这个函数表达式：________________.

答案： y=−2(x−2)²+1或y=2(x−2)²+1 提示:因为图象顶点坐标为(2,1),设函数表达式是y=a(x−2)²+1,又
∵形状与抛物线y=−2x²相同,即二次项系数绝对值相同,则|a|=2,因而表达式是y=−2(x−2)²+1或y=2(x−2)²+1。

16. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与$y$轴的交点坐标是$(0,5)$，且经过两个长、宽分别为4和2的相同的长方形的顶点，则这条抛物线对应的函数关系式是________________.

答案： y=−$\frac{5}{24}$x²−$\frac{1}{12}$x+5　提示:根据题意得,抛物线经过点(0,5),(−4,2),(2,4)。设抛物线的表达式为y=ax²+bx+c,则$\begin{cases}c = 5\\16a - 4b + c = 2\\4a + 2b + c = 4\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -\frac{5}{24}\\b = -\frac{1}{12}\\c = 5\end{cases}$，
∴抛物线的表达式为y=−$\frac{5}{24}$x²−$\frac{1}{12}$x+5。

17. 二次函数的图象过点$(-3,0)$，$(1,0)$，且顶点的纵坐标为4，则此函数的关系式为_____.

答案： y=−x²−2x+3　提示:
∵二次函数图象过点(−3,0),(1,0),且顶点的纵坐标为4,
∴顶点横坐标为−1,即顶点坐标为(−1,4)。设此函数关系式为y=a(x+1)²+4,将x=1,y=0代入得a=−1,则此函数关系式为y=−(x+1)²+4=−x²−2x+3。

18. 如图，建立直角坐标系，某抛物线型桥拱的最大高度为16 m，跨度为40 m，则它对应的表达式为________________________.

答案： y=−$\frac{1}{25}$x²+$\frac{8}{5}$x提示:由图象可知抛物线的顶点坐标为(20,16)，经过点(0,0),(40,0)。设抛物线的表达式为y=a(x−20)²+16,把(0,0)代入得到a=−$\frac{1}{25}$,
∴抛物线的表达式为y=−$\frac{1}{25}$(x−20)²+16,即y=−$\frac{1}{25}$x²+$\frac{8}{5}$x。

19. 已知抛物线$y = -x^2 + bx + c$经过点$A(3,0)$，$B(-1,0)$.
(1)求抛物线的表达式；
(2)求抛物线的顶点坐标.

答案： 解:
(1)
∵抛物线y=−x²+bx+c经过点A(3,0),B(−1,0),
∴抛物线的表达式为y=−(x−3)(x+1),即y=−x²+2x+3;
(2)
∵抛物线的表达式为y=−x²+2x+3=−(x−1)²+4,
∴抛物线的顶点坐标为(1,4)。