《2025年全优课堂九年级数学下册华师大版》

6. 如图，一场篮球赛中，篮球运动员跳起投篮，已知球出手时离地面2.2 m，与篮圈中心的水平距离为8 m，当球出手后水平距离为4 m时达到最大高度4 m，篮球运行的轨迹为抛物线的一部分，篮圈中心距离地面3 m，运动员发现未投中，若假设出手的角度和力度都不变，要使此球恰好通过篮圈中心，运动员应该（ ）

A. 比开始高0.8 m
B. 比开始高0.4 m
C. 比开始低0.8 m
D. 比开始低0.4 m

答案： A
提示：由题意可得，若此球恰好经过篮圈中心，则运动员出手的位置距地面的高度应该与篮圈中心距地面的高度一样，$\therefore$运动员出手的位置距地面的高度为$3m$。$\because3 - 2.2=0.8$，$\therefore$要使此球恰好通过篮圈中心，运动员应该跳得比开始高$0.8m$。

7. 如图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线$y = - \frac{1}{400}(x - 80)^{2} + 16$，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA = 10 m，则桥面离水面的高度AC为（ ）

A. $\frac{169}{40}$ m
B. $\frac{17}{4}$ m
C. $\frac{167}{40}$ m
D. $\frac{15}{4}$ m

答案： B
提示：$\because AC\perp x$轴，$OA = 10m$，
$\therefore$点$C$的横坐标为$-10$。当$x = - 10$时，
$y = -\frac{1}{400}\times(-10 - 80)^{2}+16=-\frac{17}{4}$，
$\therefore C(-10,-\frac{17}{4})$，$\therefore$桥面离水面的高度$AC$为$\frac{17}{4}m$。

8. 如图，某校的围墙由一段相同的凹曲拱组成，其拱状图形为抛物线的一部分，在栅栏的跨径AB间，按相同间隔0.2 m用5根立柱加固，拱高OC为0.36 m，则立柱EF的长为（ ）

A. 0.4 m
B. 0.16 m
C. 0.2 m
D. 0.24 m

答案：
C
提示：如图，以点$C$为直角坐标系的原点，$OC$所在直线为$y$轴建立直角坐标系。设抛物线表达式为$y = ax^{2}$，由题知，图象过$B(0.6,0.36)$，$\therefore0.36 = 0.36a$，$\therefore a = 1$，即$y = x^{2}$。$\because$点$F$横坐标为$-0.4$，当$x = - 0.4$时，$y = 0.16$，
$\therefore EF=0.36 - 0.16=0.2(m)$。

9. 如图，某大学的校门是抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽为8 m，两侧距地面4 m高处各有一个挂校名横幅用的铁环，两铁环的水平距离为6 m，则校门的高为_____ m.(精确到0.1 m，水泥建筑物厚度忽略不计)

答案：
9.1
提示：如图，以地面为$x$轴，大门左边与地面的交点为原点建立平面直角坐标系，则抛物线过$(0,0)$，$(8,0)$，$(1,4)$，$(7,4)$四点，设该抛物线表达式为$y = ax(x - 8)$，过$(1,4)$，$\therefore a=-\frac{4}{7}$，$\therefore$该抛物线表达式为$y = -\frac{4}{7}x(x - 8)=-\frac{4}{7}x^{2}+\frac{32}{7}x=-\frac{4}{7}(x - 4)^{2}+\frac{64}{7}$，
顶点坐标为$(4,\frac{64}{7})$，$\frac{64}{7}\approx9.1$，
$\therefore$校门的高约为$9.1m$。

10. 在如图所示的平面直角坐标系中，桥孔抛物线对应的二次函数表达式是$y = - \frac{1}{3}x^{2}$，当水位上涨1 m时，水面宽CD为$2\sqrt{6}$ m，则桥下的水面宽AB为_____ m.

答案： 6
提示：$\because$水面宽$CD$为$2\sqrt{6}m$，$y$轴是对称轴，$\therefore$点$D$的横坐标为$\sqrt{6}$，$\therefore$点$D$的纵坐标为$y = -\frac{1}{3}\times(\sqrt{6})^{2}=-2$，$\therefore$点$B$的纵坐标为$-2 - 1=-3$。把$y = - 3$代入表达式得$-3 = -\frac{1}{3}x^{2}$，
$\therefore x^{2}=9$，$x = \pm3$，$\therefore$点$B$的横坐标为$3$，
$\therefore$桥下的水面宽$AB$为$3\times2=6(m)$。

11. 平时我们在跳绳时，绳子甩到最高处的形状可近似看作抛物线，如图，建立平面直角坐标系，抛物线的函数表达式为$y = - \frac{1}{6}x^{2} + \frac{1}{3}x + \frac{3}{2}$(单位：m)，绳子甩到最高处时刚好通过站在x = 2点处跳绳的学生小明的头顶，则小明的身高为________ m.

答案： 1.5
提示：在$y = -\frac{1}{6}x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{3}{2}$中，当$x = 2$时，得$y=\frac{3}{2}=1.5$。即小明的身高为$1.5m$。

12. 一位运动员投掷铅球的成绩是14 m，当铅球运行的水平距离是6 m时达到最大高度4 m，若铅球运行的路线是抛物线，则铅球出手时距地面的高度是______ m.

答案：
$\frac{7}{4}$
提示：建立如图所示的平面直角坐标系，由题意知抛物线的顶点$A$的坐标为$(6,4)$，点$B$的坐标为$(14,0)$。设抛物线的表达式为$y = a(x - 6)^{2}+4$，将点$(14,0)$代入，得$64a + 4=0$，解得$a = -\frac{1}{16}$，则抛物线的表达式为$y = -\frac{1}{16}(x - 6)^{2}+4$，当$x = 0$时，$y = -\frac{1}{16}\times36 + 4=\frac{7}{4}$，即点$C(0,\frac{7}{4})$，所以铅球出手时距地面的高度是$\frac{7}{4}m$。

13. 有一座抛物线型拱桥，在正常水位时，水面BC的宽为10 m，拱桥的最高点D到水面BC的距离DO为4 m，点O是BC的中点，如图，以点O为原点，直线BC为x轴，建立平面直角坐标xOy.
(1)求该抛物线的表达式；
(2)如果水面BC上升3 m(即OA = 3)至水面EF，点E在点F的左侧，求水面宽度EF的长.

答案： 解：
(1)设抛物线表达式为$y = ax^{2}+c$，由题意可得图象经过$C(5,0)$，$D(0,4)$，则$\begin{cases}c = 4\\25a + 4=0\end{cases}$，解得$a = -\frac{4}{25}$，故抛物线表达式为$y = -\frac{4}{25}x^{2}+4$；
(2)由题意可得，当$y = 3$时，$3 = -\frac{4}{25}\cdot x^{2}+4$，
解得$x = \pm\frac{5}{2}$，故$EF = 5m$。
答：水面宽度$EF$的长为$5m$。