《2025年全优课堂九年级数学下册华师大版》

1. 如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，直线AE是⊙O的切线，CD平分∠ACB，若∠CAE = 21°，则∠BFC的度数为（ ）

A. 66°
B. 111°
C. 114°
D. 119°

答案： C 提示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB = 90°.又
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=$\frac{1}{2}$∠ACB = 45°.
∵直线AE是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，
∴∠BAE = 90°，即∠BAC + ∠CAE = 90°，
∴∠BAC = 90° - ∠CAE = 90° - 21° = 69°，
∴∠BFC = ∠BAC + ∠ACD = 69° + 45° = 114°.

2. 已知：AB为⊙O的直径，P为AB延长线上的任意一点，过点P作⊙O的切线，切点为C，∠APC的平分线PD与AC交于点D.
(1)如图1，若∠CPA恰好等于30°，求∠CDP的度数；
(2)如图2，若点P位于(1)中不同的位置，(1)的结论是否仍然成立？说明你的理由.

答案：
解：
(1)如图，连结OC.
∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠OCP = 90°.
∵∠CPA = 30°，
∴∠COP = 60°.
∵OA = OC，
∴∠A = ∠ACO = 30°.
∵PD平分∠APC，
∴∠APD = 15°，
∴∠CDP = ∠A + ∠APD = 45°；
　　　
(2)∠CDP的大小不发生变化，
(1)中结论仍然成立.
理由：
∵PC是⊙O的切线，
∴∠OCP = 90°.
∵PD是∠CPA的平分线，
∴∠APC = 2∠APD.
∵OA = OC，
∴∠A = ∠ACO，
∴∠COP = 2∠A.
在Rt△OCP中，∠OCP = 90°，
∴∠COP + ∠OPC = 90°，
即2(∠A + ∠APD)= 90°，
∴∠CDP = ∠A + ∠APD = 45°，即∠CDP的大小不发生变化，
(1)中结论仍然成立.

3. 如图，AB是⊙O的直径，BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且∠BDC = 110°.连结AC，则∠A的度数是 ________.

答案： 35°

4. 如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D，则∠COD的度数为（ ）

A. $\frac{1}{2}(90^{\circ}+\angle P)$
B. $\frac{1}{2}(90^{\circ}-\angle P)$
C. $90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle P$
D. $90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle P$

答案：
C 提示：如图，连结OA，OE，OB.
由切线性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，DB = DE，AC = CE.
∵AO = OE = OB，易证△AOC≌△EOC，△EOD≌△BOD，
∴∠AOC = ∠EOC，∠EOD = ∠BOD，
∴∠COD=$\frac{1}{2}$∠AOB.
∵∠AOB = 180° - ∠P，
∴∠COD = 90°-$\frac{1}{2}$∠P.
　　　

5. 如图，△ACD内接于⊙O，AB是⊙O的切线，∠C = 45°，∠B = 30°，AD = 4，则AB长为（ ）

A. 4
B. $2\sqrt{2}$
C. $2\sqrt{3}$
D. $2\sqrt{6}$

答案：
D 提示：如图，连结OA，OD.
∵∠C = 45°，
∴∠AOD = 2∠C = 90°.
又
∵OA = OD，AD = 4，
∴AD² = 2OA² = 16，则OA = 2$\sqrt{2}$.
又
∵AB是⊙O的切线，
∴∠OAB = 90°.
∵∠B = 30°，OA = 2$\sqrt{2}$，
∴AB=$\sqrt{3}$OA = 2$\sqrt{6}$.
　　　　

6. 如图，⊙O与△ABC中AB，AC的延长线及BC边相切，且∠ACB = 90°，∠A，∠ABC，∠ACB所对的边长依次为3，4，5，则⊙O的半径是_____.

答案：
2 提示：如图，连结OD，OE.
∵⊙O与△ABC中AB，AC的延长线及BC边相切，
∴AF = AD，BE = BF，CE = CD，OD⊥AD，OE⊥BC，又
∵∠ACB = 90°，OD = OE，
∴四边形ODCE是正方形.设OD = r，则CD = CE = r.
∵BC = 3，
∴BE = BF = 3 - r.
∵AB = 5，AC = 4，
∴AF = AB + BF = 5 + 3 - r，AD = AC + CD = 4 + r，
∴5 + 3 - r = 4 + r，解得r = 2，则⊙O的半径是2.
　　　

7. 如图，已知⊙O中直径AB与弦AC的夹角为30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，OD = 30 cm.求直径AB的长.

答案： 解：
∵∠A = 30°，OC = OA，
∴∠ACO = ∠A = 30°，
∴∠COD = 60°.
∵DC切⊙O于点C，
∴∠OCD = 90°，
∴∠D = 30°.
∵OD = 30 cm，
∴OC=$\frac{1}{2}$OD = 15 cm，
∴AB = 2OC = 30 cm.