《2025年全优课堂九年级数学下册华师大版》

9. 如图，O是△ABC的内心，过点O作EF//AB，与AC，BC分别交于点E，F，则（ ）

A. EF ＞ AE + BF
B. EF ＜ AE + BF
C. EF = AE + BF
D. EF ≤ AE + BF

答案：
C 提示：如图，连结OA，OB.
∵O是△ABC的内心，
∴OA，OB分别是∠CAB及∠ABC的平分线，
∴∠EAO = ∠OAB，∠ABO = ∠FBO.
∵EF//AB，
∴∠AOE = ∠OAB，∠BOF = ∠ABO，
∴∠EAO = ∠AOE，∠FBO = ∠BOF，
∴AE = OE，OF = BF，
∴EF = AE + BF.

10. 如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，下列结论中，错误的是（ ）

A. ∠1 = ∠2
B. PA = PB
C. AB⊥OP
D. PA² = PC·PO

答案： D

11. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（6，0），B（0，6），⊙O的半径为2（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（ ）

A. √7
B. 3
C. 3√2
D. √14

答案：
D 提示：如图，连结OP，OQ.
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ. 根据勾股定理知PQ² = OP² - OQ² = OP² - 4，
∴当线段OP最短时，线段PQ最短.
∵当OP⊥AB时，线段OP最短，
∴此时线段PQ最短，又
∵A(6,0)，B(0,6)，
∴OA = OB = 6，
∴AB = 6$\sqrt{2}$，
∴OP = $\frac{1}{2}$AB = 3$\sqrt{2}$.
∵OQ = 2，
∴PQ = $\sqrt{OP^{2}-OQ^{2}}$ = $\sqrt{14}$.

12. 已知P是⊙O外一点，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B. 若PA = 6，则PB =____.

答案： 6 提示：
∵PA，PB都是⊙O的切线，且A，B是切点，
∴PA = PB，即PB = 6.

13. 如图，正方形ABCD内切圆的面积为81π，则正方形的周长为______.

答案： 72 提示：
∵正方形的内切圆的面积是81π，
∴内切圆的半径r = 9，
∴AB = 2r = 18，
∴正方形的周长 = 18×4 = 72.

14. 如图，EB，EC是⊙O的两条切线，B，C是切点，A，D是⊙O上两点，如果∠E = 46°，∠DCF = 32°，则∠A的度数是______.

答案： 99° 提示：
∵EB，EC是⊙O的切线，
∴EB = EC. 又
∵∠E = 46°，
∴∠ECB = ∠EBC = $\frac{1}{2}$×(180° - 46°) = 67°.
∵∠DCF = 32°，
∴∠BCD = 180° - ∠ECB - ∠DCF = 180° - 67° - 32° = 81°.
∵四边形ADCB内接于⊙O，
∴∠A + ∠BCD = 180°，
∴∠A = 180° - 81° = 99°.

15. 如图，已知⊙O是边长为2的等边三角形ABC的内切圆，则⊙O的面积为______.

答案：
$\frac{\pi}{3}$ 提示：设BC切⊙O于点D，如图，连结OC，OD.
∵CA，CB都与⊙O相切，
∴∠OCD = ∠OCA = 30°. 在Rt△OCD中，CD = $\frac{1}{2}$BC = 1，∠OCD = 30°，
∴OD = CD·tan30° = $\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴S⊙O = π·OD² = $\frac{\pi}{3}$.

16. 如图，⊙O既是正三角形ABC的外接圆，又是正三角形DEF的内切圆，则内外两个正三角形的相似比是______.

答案：
$\frac{1}{2}$ 提示：如图，过点O作OM⊥AC于点M，ON⊥EF于点N，连结OC，OF. 设OC = ON = R，
∵⊙O既是正三角形ABC的外接圆，又是正三角形DEF的内切圆，
∴∠MCO = ∠OFN = 30°.
∵∠CMO = ∠FNO = 90°，
∴OM = $\frac{1}{2}$R，OF = 2R. 由勾股定理得CM = $\sqrt{R^{2}-(\frac{1}{2}R)^{2}}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$R，由垂径定理得AC = 2CM = $\sqrt{3}$R，同理EF = 2NF = 2$\sqrt{3}$R，
∴内外两个正三角形的相似比是AC:EF = $\frac{\sqrt{3}R}{2\sqrt{3}R}$ = $\frac{1}{2}$.

17. 如图，在△ABC中，AB = 10，AC = 6，BC = 8，⊙O为△ABC的内切圆，点D是边AB的中点，则tan∠ODA =________.

答案：
2 提示：
∵AB = 10，AC = 6，BC = 8，
∴AC² + BC² = AB²，
∴∠C = 90°. 如图，连结OE，OF，OQ，
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴∠C = ∠OEC = ∠OFC = 90°，OE = OF，BE = BQ，AQ = AF，CE = CF，
∴四边形CEOF是正方形，
∴CE = CF = OE = OF，
∴BC - OE + AC - OE = AB，
∴OE = OQ = $\frac{1}{2}$×(6 + 8 - 10) = 2，
∴AQ = AF = 6 - 2 = 4.
∵D为AB的中点，
∴AD = $\frac{1}{2}$AB = 5，
∴DQ = 5 - 4 = 1，
∴tan∠ODA = $\frac{OQ}{DQ}$ = $\frac{2}{1}$ = 2.

18. 如图，△ABC外切于⊙O，切点分别为点D，E，F，∠A = 60°，BC = 7，⊙O的半径为√3.
（1）求BF + CE的值；
（2）求△ABC的周长.

答案：
解：
(1)
∵△ABC外切于⊙O，切点分别为点D，E，F，
∴BF = BD，CE = CD，
∴BF + CE = BD + CD = BC = 7；
(2)如图，连结OE，OF，OA，
∵△ABC外切于⊙O，切点分别为点D，E，F，
∴∠OEA = 90°，∠OAE = $\frac{1}{2}$∠BAC = 30°，
∴OA = 2OE = 2$\sqrt{3}$. 由勾股定理得AE = AF = $\sqrt{OA^{2}-OE^{2}}$ = $\sqrt{(2\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{3})^{2}}$ = 3，
∴△ABC的周长 = AB + BC + AC = AF + AE + CE + BF + BC = 3 + 3 + 7 + 7 = 20，即△ABC的周长是20.