《2025年全优课堂九年级数学下册华师大版》

20. 已知两个实数，其中一个比另一个大2，设其中较小的数为$x$，这两个实数的乘积为$y$。
（1）$y$与$x$的函数关系式为$y =$____________；（直接填在横线上）
（2）这两个数各为多少时它们的乘积最小？

答案： 解：
(1)y = x² + 2x 提示：y与x的函数关系式为y = x(x + 2)，即y = x² + 2x；
(2)
∵y = x² + 2x=(x + 1)² - 1，
∴当x = -1时，y有最小值，此时，x = -1，x + 2 = -1 + 2 = 1，所以这两个数为 -1和1时，它们的乘积最小.

21. 某家禽养殖场，用总长为80 m的围栏靠墙（墙长为20 m）围成如图所示的三块面积相等的矩形区域，设$AD$长为$x$ m，矩形区域$ABCD$的面积为$y m^2$。
（1）请直接写出$GH$的长；（用含$x$的代数式表示）
（2）求$y$与$x$之间的函数关系式，并写出自变量$x$的取值范围；
（3）当$x$为何值时，$y$有最大值？最大值是多少？

答案： 解：
(1)
∵矩形AEHG与矩形CDEF的面积以及矩形BFHG面积相等，
∴矩形AEFB的面积 = 矩形CDEF面积的2倍，
∴AE = 2DE.
∵AD = x m，
∴GH = AE = 2DE = 2/3x m；
(2)
∵围栏总长为80 m，
∴2x + 2/3x + 2CD = 80，
∴CD=(40 - 4/3x)m，故y = x(40 - 4/3x)= -4/3x² + 40x，自变量x的取值范围为15≤x＜30；
(3)由题意可得y = -4/3x² + 40x= -4/3(x² - 30x)= -4/3(x - 15)² + 300，又
∵15≤x＜30，
∴当x = 15时，y有最大值，最大值为300.

22.（广州中考）当$x =$____时，二次函数$y = x^2 - 2x + 6$有最小值____.

答案： 1 5 提示：
∵y = x² - 2x + 6=(x - 1)² + 5，
∴当x = 1时，二次函数y = x² - 2x + 6有最小值5.

23.（贺州中考）已知二次函数$y = 2x^2 - 4x - 1$在$0\leq x\leq a$时，$y$取得的最大值为15，则$a$的值为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： D 提示：
∵二次函数y = 2x² - 4x - 1=2(x - 1)² - 3，
∴抛物线的对称轴为直线x = 1，顶点为(1，-3)，
∴当y = -3时，x = 1，当y = 15时，2(x - 1)² - 3 = 15，解得x = 4或x = -2.
∵当0≤x≤a时，y的最大值为15，
∴a = 4.

24.（新疆中考）如图，用一段长为16 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为____$m^2$.

答案： 32 提示：设与墙垂直的一边长为x m，则与墙平行的一边长为(16 - 2x)m，
∴矩形围栏的面积为x(16 - 2x)= -2x² + 16x= -2(x - 4)² + 32.
∵ -2＜0，
∴当x = 4时，矩形有最大面积，为32 m².

25. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle B = 90^{\circ}$，$AB = 12$ cm，$BC = 24$ cm，动点$P$从点$A$开始向点$B$以2 cm/s的速度移动（不与点$B$重合）；动点$Q$从点$B$开始向点$C$以4 cm/s的速度移动（不与点$C$重合）。如果$P,Q$分别从$A,B$同时出发，那么经过多长时间四边形$APQC$的面积最小？

答案： 解：设运动时间为t(0≤t＜6)s时，四边形APQC的面积为S.
∵PB = AB - 2t = 12 - 2t，BQ = 4t，
∴S△BPQ = 1/2PB·BQ = 1/2(12 - 2t)·4t = 24t - 4t²，
∴S = S△ABC - S△BPQ = 1/2AB·BC-(24t - 4t²)=4t² - 24t + 144.
∵S = 4t² - 24t + 144=4(t - 3)² + 108，
∴经过3 s四边形APQC的面积最小.