《2025年全优课堂九年级数学下册华师大版》

1. 已知二次函数的图象经过点(-1,-5),(0,-4)和(1,1),则这个二次函数的表达式为( )
A. y=-6x²+3x+4
B. y=-2x²+3x-4
C. y=x²+2x-4
D. y=2x²+3x-4

答案： D 提示：设所求函数的表达式为$y = ax^{2}+bx + c$，把$(-1,-5)$，$(0,-4)$，$(1,1)$分别代入，得$\begin{cases}a - b + c = -5,\\c = -4,\\a + b + c = 1,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 2,\\b = 3,\\c = -4,\end{cases}$所求的二次函数表达式为$y = 2x^{2}+3x - 4$.

2. 已知一抛物线的顶点在y轴上,且过两点(1,2),(2,5),则此抛物线的表达式为_____.

答案： $y = x^{2}+1$ 提示：由抛物线顶点在$y$轴上，设抛物线的表达式为$y = ax^{2}+k$，将$(1,2)$与$(2,5)$分别代入得$\begin{cases}a + k = 2,\\4a + k = 5,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 1,\\k = 1,\end{cases}$ $\therefore$抛物线的表达式为$y = x^{2}+1$.

3. 已知某二次函数的图象与x轴交于点A(3,0)与点B(-2,0),与y轴交于点(0,3),求该二次函数的表达式.

答案： 解：设二次函数表达式为$y = a(x - 3)(x + 2)$，把$(0,3)$代入得$a\cdot(-3)\times2 = 3$，解得$a = -\frac{1}{2}$，所以二次函数表达式为$y = -\frac{1}{2}(x - 3)(x + 2)=-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}x + 3$.

4. 已知二次函数的图象与x轴的两个交点A,B关于直线x=-1对称,且AB=6,顶点在函数y=2x的图象上,则这个二次函数的表达式为____________.

答案： $y = \frac{2}{9}x^{2}+\frac{4}{9}x-\frac{16}{9}$ 提示：二次函数图象的对称轴为直线$x = -1$，且图象与$x$轴交于$A$，$B$两点，$AB = 6$，$\therefore$图象与$x$轴交于点$(-4,0)$，$(2,0)$，顶点的横坐标为$-1$.$\because$顶点在函数$y = 2x$的图象上，$\therefore y = 2\times(-1)=-2$，$\therefore$顶点坐标为$(-1,-2)$.设二次函数表达式为$y = a(x + 1)^{2}-2$，把$(2,0)$代入得$a = \frac{2}{9}$，则$y = \frac{2}{9}x^{2}+\frac{4}{9}x-\frac{16}{9}$.

5. 已知二次函数的顶点坐标为(1,4),且其图象经过点(-2,-5),求此二次函数的表达式.

答案： 解：设此二次函数的表达式为$y = a(x - 1)^{2}+4(a\neq0)$.$\because$其图象经过点$(-2,-5)$，$\therefore a(-2 - 1)^{2}+4 = -5$，$\therefore a = -1$，$\therefore y = -(x - 1)^{2}+4=-x^{2}+2x + 3$.

6. 在平面直角坐标系中,顶点为(4,-1)的抛物线交y轴于点A(0,3).求此抛物线的表达式.

答案： 解：设抛物线的表达式为$y = a(x - 4)^{2}-1$.$\because$抛物线经过点$A(0,3)$，$\therefore 3 = a(0 - 4)^{2}-1$，$\therefore a = \frac{1}{4}$，$\therefore$抛物线表达式为$y = \frac{1}{4}(x - 4)^{2}-1=\frac{1}{4}x^{2}-2x + 3$.

7. 二次函数y=ax²-4ax+b(a＜0)的图象过点A(1,4),B(p,4),该函数图象的顶点为C,且S△ABC=1,求二次函数的表达式.

答案：
解：$\because$二次函数$y = ax^{2}-4ax + b(a\lt0)$的图象过点$A(1,4)$，$B(p,4)$，$\therefore$对称轴为直线$x = -\frac{-4a}{2a}=2$，即$\frac{1 + p}{2}=2$，解得$p = 3$，$\therefore$点$B(3,4)$.如图，由$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CD=\frac{1}{2}\times2\times CD = 1$，解得$CD = 1$，$\therefore$点$C$坐标为$(2,5)$.把$A$，$C$的坐标分别代入函数表达式得$\begin{cases}-3a + b = 4,\\-4a + b = 5,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = -1,\\b = 1,\end{cases}$ $\therefore$二次函数表达式为$y = -x^{2}+4x + 1$.

8. 已知在直角坐标系中,点A在第二象限内,点B和点C在x轴上,原点O为边BC的中点,BC=4,AO=AB,tan∠AOB=3,求图象经过A,B,C三点的二次函数表达式.

答案：
解：$\because$原点$O$为边$BC$的中点，$BC = 4$，$\therefore$点$B$坐标为$(-2,0)$，点$C$坐标为$(2,0)$，如图，作$AH\perp OB$于点$H$.$\because AO = AB$，$\therefore OH = BH = 1$.$\because\tan\angle AOB=\frac{AH}{OH}=3$，$\therefore AH = 3$，$\therefore$点$A$坐标为$(-1,3)$.设抛物线的表达式为$y = a(x + 2)(x - 2)$，把$(-1,3)$代入得$a\times1\times(-3)=3$，解得$a = -1$，$\therefore$经过$A$，$B$，$C$三点的二次函数表达式为$y = -(x + 2)(x - 2)=-x^{2}+4$.