《2025年全优课堂九年级数学下册华师大版》

1. 如图，已知⊙O为△ABC的外接圆，BC为直径，点E在AB上，过点E作EF⊥BC，点G在FE的延长线上，且GA = GE. 求证：AG与⊙O相切.

答案：
证明：如图，连结$OA$.$\because OA = OB$，$GA = GE$，
$\therefore\angle ABO=\angle BAO$，$\angle GEA=\angle GAE$.
$\because EF\perp BC$，$\therefore\angle BFE = 90^{\circ}$，$\therefore\angle ABO+\angle BEF = 90^{\circ}$.又$\because\angle BEF=\angle GEA$，
$\therefore\angle GAE=\angle BEF$，
$\therefore\angle BAO+\angle GAE = 90^{\circ}$，即$OA\perp AG$，
又$\because$点$A$在$\odot O$上，$\therefore AG$与$\odot O$相切.

2. 如图，Rt△ABC中，∠ABC = 90°，以AB为直径作半圆O交AC于点D，点E为BC的中点，连结DE. 求证：DE是半圆O的切线.

答案：
证明：如图，连结$OD$，$OE$，$BD$.$\because AB$为$\odot O$的直径，$\therefore\angle ADB=\angle BDC = 90^{\circ}$.在$\text{Rt}\triangle BDC$中，$E$为斜边$BC$的中点，
$\therefore DE = BE$，在$\triangle OBE$和$\triangle ODE$中，
$\begin{cases}OB = OD,\\OE = OE,\\BE = DE,\end{cases}$ $\therefore\triangle OBE\cong\triangle ODE$，
$\therefore\angle ODE=\angle ABC = 90^{\circ}$.$\because OD$为$\odot O$的半径，$\therefore DE$为半圆$O$的切线.

3. 如图，在△ABC中，AB = AC，D是BC边的中点，以点D为圆心的圆与AB相切于点E. 求证：AC与⊙D相切.

答案：
证明：如图，作$DF\perp AC$于点$F$，连结$AD$，$DE$.$\because AB$是$\odot D$的切线，$\therefore DE\perp AB$.$\because AB = AC$，$D$是$BC$的中点，$\therefore AD$平分$\angle BAC$.又$\because DE\perp AB$，$DF\perp AC$，
$\therefore DF = DE$，$\therefore AC$与$\odot D$相切.

4. 如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，∠ACB的平分线交AB于点O，以O为圆心的⊙O与AC相切于点D. 求证：BC与⊙O相切.

答案：
证明：如图，过点$O$作$OF\perp BC$，垂足为点$F$，连结$OD$.$\because AC$是圆的切线，
$\therefore OD\perp AC$.$\because OC$为$\angle ACB$的平分线，
$\therefore OF = OD$，$\therefore BC$与$\odot O$相切.

5. 如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN//BC交AB于点E，且ME = 1，AM = 2，AE = $\sqrt{3}$. 求证：BC是⊙O的切线.

答案： 证明：$\because$在$\triangle AME$中，$AM = 2$，$ME = 1$，$AE=\sqrt{3}$，$\therefore AM^{2}=ME^{2}+AE^{2}$，$\therefore\triangle AME$是直角三角形，$\therefore\angle AEM = 90^{\circ}$.
又$\because MN// BC$，$\therefore\angle ABC=\angle AEM = 90^{\circ}$，
$\therefore AB\perp BC$.又$AB$为$\odot O$的直径，
$\therefore BC$是$\odot O$的切线.