《2025年全优课堂九年级数学下册华师大版》

1. 如图，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和BC分别在两直角边上，要使长方形ABCD的面积最大，其AB边的长应为（ ）

A. $\frac{25}{4}$ m
B. 6 m
C. 15 m
D. $\frac{5}{2}$ m

答案： D 提示：根据题意得$y = \frac{1}{2}×12×5 - \frac{1}{2}(5 - x)\frac{y}{x} - \frac{1}{2}x(12 - \frac{y}{x})$，整理得$y = - \frac{12}{5}x^{2} + 12x = - \frac{12}{5}(x - \frac{5}{2})^{2} + 15$。$\because - \frac{12}{5} ＜ 0$，$\therefore$长方形的面积有最大值，此时$AB$边的长应为$\frac{5}{2}$m。

2. 某高中学校为高一新生设计的学生单人课桌的抽屉部分是长方体形状.其中，抽屉底面周长为180 cm，高为20 cm.请通过计算说明，当底面的宽x为何值时，抽屉的体积y最大？最大为多少？（材质及其厚度等忽略不计）

答案： 解：已知抽屉底面宽为$x$cm，则底面长为$\frac{180}{2} - x = 90 - x$(cm)。$\because 90 - x \geq x$且$x ＞ 0$，$\therefore 0 ＜ x \leq 45$。由题意得$y = x(90 - x)×20 = - 20(x^{2} - 90x) = - 20(x - 45)^{2} + 40500$。$\because 0 ＜ x \leq 45$，$- 20 ＜ 0$，$\therefore$当$x = 45$时，$y$有最大值，最大值为$40500$。答：当抽屉底面宽为$45$cm时，抽屉的体积最大，最大体积为$40500$cm³。

3. 如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6 m，底部宽度OM为12 m.现以点O为原点，OM所在直线为x轴建立平面直角坐标系.
（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；
（2）求这条抛物线的表达式；
（3）若要搭建一个矩形“支撑架”AD—DC—CB，使C，D点在抛物线上，A，B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？

答案： 解：
(1)$M(12,0)$，$P(6,6)$；
(2)设抛物线表达式为$y = a(x - 6)^{2} + 6$。$\because$抛物线$y = a(x - 6)^{2} + 6$经过点$(0,0)$，$\therefore 0 = a(0 - 6)^{2} + 6$，解得$a = - \frac{1}{6}$，$\therefore$抛物线表达式为$y = - \frac{1}{6}(x - 6)^{2} + 6$，即$y = - \frac{1}{6}x^{2} + 2x$；
(3)设$A(m,0)$，则$B(12 - m,0)$，$C(12 - m,- \frac{1}{6}m^{2} + 2m)$，$D(m,- \frac{1}{6}m^{2} + 2m)$。$\therefore$“支撑架”总长$=AD + DC + CB = (- \frac{1}{6}m^{2} + 2m)+(12 - 2m)+(- \frac{1}{6}m^{2} + 2m)= - \frac{1}{3}m^{2} + 2m + 12 = - \frac{1}{3}(m - 3)^{2} + 15$。$\because$此二次函数的图象开口向下，$\therefore$当$m = 3$时，$AD + DC + CB$有最大值，为$15$m。

4. 如图，在一次高尔夫球赛中，小明从山坡下点O处打出一球向球洞点A飞去，球的飞行路线为抛物线.如果不考虑空气阻力，当球打到最大竖直高度12 m时，球移动的水平距离为9 m.已知山坡OA与水平方向OC的夹角为30°，O，A两点相距$\frac{12}{5}$ m.建立如图所示的平面直角坐标系.
（1）直接写出点A的坐标；
（2）求出球的飞行路线所在抛物线的函数表达式；
（3）直接判断小明这一杆能否把高尔夫球从点O直接打入球洞点A.

答案： 解：
(1)$A(\frac{6\sqrt{3}}{5},\frac{6}{5})$
提示：在$Rt\triangle AOC$中，$\angle AOC = 30^{\circ}$，$OA = \frac{12}{5}$m，$\therefore AC = \frac{6}{5}$m。由勾股定理得$OC = \frac{6\sqrt{3}}{5}$m，$\therefore A(\frac{6\sqrt{3}}{5},\frac{6}{5})$；
(2)由题意得顶点$B(9,12)$，$\therefore$设抛物线的函数表达式为$y = a(x - 9)^{2} + 12$，抛物线过原点，把$(0,0)$代入得$0 = a(0 - 9)^{2} + 12$，$a = - \frac{4}{27}$，$\therefore$球的飞行路线所在抛物线的函数表达式为$y = - \frac{4}{27}(x - 9)^{2} + 12$；
(3)不能。提示：当$x = \frac{6\sqrt{3}}{5}$时，$y = - \frac{4}{27}×(\frac{6\sqrt{3}}{5} - 9)^{2} + 12 \neq \frac{6}{5}$，$\therefore$小明这一杆不能把高尔夫球从点$O$直接打入球洞点$A$。