《2025年全优课堂九年级数学下册华师大版》

1. 如图，在三个等圆上各自有一条劣弧$\overset{\frown}{AB}$，$\overset{\frown}{CD}$，$\overset{\frown}{EF}$，如果$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{EF}$，那么$AB + CD$与$EF$的大小关系是（ ）

A. $AB + CD = EF$
B. $AB + CD＞EF$
C. $AB + CD＜EF$
D. 不能确定

答案：
B 提示：如图，在$\overset{\frown}{EF}$上取一点$M$使$\overset{\frown}{EM}=\overset{\frown}{CD}$，则$\overset{\frown}{FM}=\overset{\frown}{AB}$，$\therefore AB = FM$，$CD = EM$。在$\triangle MEF$中，$FM + EM＞EF$，$\therefore AB + CD＞EF$。

2. 如图，$\odot O$中，如果$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{AC}$，那么（ ）

A. $AB = AC$
B. $AB = 2AC$
C. $AB＜2AC$
D. $AB＞2AC$

答案：
C 提示：如图，取$\overset{\frown}{AB}$的中点$D$，连结$AD$，$DB$，则$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{AD}=2\overset{\frown}{BD}$。$\because\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{AC}$，$\therefore\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AC}$，$\therefore AD = BD = AC$。在$\triangle ADB$中，由三角形的三边关系可知$AD + BD＞AB$，$\therefore 2AC＞AB$，即$AB＜2AC$。

3. 如图，已知经过原点的$\odot P$与$x$，$y$轴分别交于$A$，$B$两点，点$C$是劣弧$OB$上一点，则$\angle ACB$的度数为（ ）

A. $80^{\circ}$
B. $90^{\circ}$
C. $100^{\circ}$
D. 无法确定

答案： B 提示：$\because\angle AOB$与$\angle ACB$都是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，$\therefore\angle AOB=\angle ACB$。$\because\angle AOB = 90^{\circ}$，$\therefore\angle ACB = 90^{\circ}$。

4. 如图，$A$，$B$，$C$，$D$四个点均在$\odot O$上，$\angle AOD = 70^{\circ}$，$AO// DC$，则$\angle B$的度数为（ ）

A. $40^{\circ}$
B. $45^{\circ}$
C. $50^{\circ}$
D. $55^{\circ}$

答案：
D 提示：如图，连结$OC$。$\because AO// DC$，$\therefore\angle ODC=\angle AOD = 70^{\circ}$。$\because OD = OC$，$\therefore\angle ODC=\angle OCD = 70^{\circ}$，$\therefore\angle COD=180^{\circ}-70^{\circ}-70^{\circ}=40^{\circ}$，$\therefore\angle AOC=70^{\circ}+40^{\circ}=110^{\circ}$，$\therefore\angle B=\frac{1}{2}\angle AOC = 55^{\circ}$。

5. 如图，$\odot O$是等边三角形$ABC$的外接圆，点$P$在劣弧$AB$上，$\angle ABP = 20^{\circ}$，则$\angle BCP =$____$^{\circ}$。

答案： 40

6. 如图，$AB$是$\odot O$的直径，$E$是$\odot O$上的一点，$C$是$\overset{\frown}{AE}$的中点，若$\angle A = 50^{\circ}$，则$\angle AOE$的度数为______。

答案： $160^{\circ}$ 提示：$\because AB$是$\odot O$的直径，$\therefore\angle ACB = 90^{\circ}$。$\because\angle A = 50^{\circ}$，$\therefore\angle B=90^{\circ}-50^{\circ}=40^{\circ}$，$\therefore\overset{\frown}{AC}=2\times40^{\circ}=80^{\circ}$。$\because$点$C$是$\overset{\frown}{AE}$的中点，$\therefore\overset{\frown}{AE}=2\overset{\frown}{AC}=160^{\circ}$，$\therefore\angle AOE = 160^{\circ}$。

7. 已知$AB$是$\odot O$直径，半径$OC\perp AB$，点$D$在$\odot O$上，且点$D$与点$C$在直径$AB$的两侧，连结$CD$，$BD$。若$\angle OCD = 22^{\circ}$，则$\angle ABD$的度数是________。

答案：
$23^{\circ}$或$67^{\circ}$ 提示：由题意，①当点$D$在直线$OC$左侧时，如图1所示。连结$OD$，则$\angle1=\angle2 = 22^{\circ}$，$\therefore\angle COD=180^{\circ}-\angle1-\angle2 = 136^{\circ}$，$\therefore\angle AOD=\angle COD-\angle AOC=136^{\circ}-90^{\circ}=46^{\circ}$，$\therefore\angle ABD=\frac{1}{2}\angle AOD = 23^{\circ}$。
②当点$D$在直线$OC$右侧时，如图2所示。
连结$OD$，则$\angle1=\angle2 = 22^{\circ}$。延长$CO$，则$\angle3=\angle1+\angle2 = 44^{\circ}$。$\therefore\angle AOD=90^{\circ}+\angle3=90^{\circ}+44^{\circ}=134^{\circ}$，$\therefore\angle ABD=\frac{1}{2}\angle AOD = 67^{\circ}$。
综上所述，$\angle ABD$的度数是$23^{\circ}$或$67^{\circ}$。

8. 在$\triangle ABC$中，$\angle C$为锐角，分别以$AB$，$AC$为直径作半圆，过点$B$，$A$，$C$作$\overset{\frown}{BAC}$，如图所示。若$AB = 4$，$AC = 2$，$S_{1}-S_{2}=\frac{\pi}{4}$，则$S_{3}-S_{4}$的值是（ ）

A. $\frac{29\pi}{4}$
B. $\frac{23\pi}{4}$
C. $\frac{11\pi}{4}$
D. $\frac{5\pi}{4}$

答案： D 提示：$\because AB = 4$，$AC = 2$，$\therefore S_{1}+S_{3}=2\pi$，$S_{2}+S_{4}=\frac{\pi}{2}$。$\because S_{1}-S_{2}=\frac{\pi}{4}$，$(S_{1}+S_{3})-(S_{2}+S_{4})=(S_{1}-S_{2})+(S_{3}-S_{4})=\frac{3}{2}\pi$，$\therefore S_{3}-S_{4}=\frac{5}{4}\pi$。

9. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = BC = 2$，$\angle ABC = 90^{\circ}$，则图中阴影部分的面积是________。

答案： $\pi - 2$ 提示：$\because$在$\triangle ABC$中，$AB = BC = 2$，$\angle ABC = 90^{\circ}$，$\therefore\triangle ABC$是等腰直角三角形，$\therefore$图中阴影部分的面积是$S_{阴影}=S_{半圆AB}+S_{半圆BC}-S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\pi\times(\frac{2}{2})^{2}+\frac{1}{2}\pi\times(\frac{2}{2})^{2}-\frac{1}{2}\times2\times2=\pi - 2$。

10. 如图，在扇形$OAB$中，$\angle AOB = 90^{\circ}$。$D$，$E$分别是半径$OA$，$OB$上的点，以$OD$，$OE$为邻边的平行四边形$ODCE$的顶点$C$在$\overset{\frown}{AB}$上。若$OD = 12$，$OE = 5$，则阴影部分的面积是____________。（结果保留$\pi$）

答案： $\frac{169\pi}{4}-60$ 提示：在题图上连结$OC$。$\because\angle EOD = 90^{\circ}$，四边形$ODCE$是平行四边形，$\therefore$四边形$ODCE$是矩形，$\therefore\angle ODC = 90^{\circ}$，$OE = DC$，又$\because OD = 12$，$OE = 5$，$\therefore DC = 5$，$\therefore OC=\sqrt{OD^{2}+DC^{2}}=\sqrt{12^{2}+5^{2}} = 13$，$\therefore$阴影部分图形的面积是$\frac{90\times\pi\times13^{2}}{360}-12\times5=\frac{169\pi}{4}-60$。