《2025年全优课堂九年级数学下册华师大版》

33. 在下面的直角坐标系中，画出二次函数$y = \frac{1}{2}(x + 2)^2 - 2,y = \frac{1}{2}(x - 1)^2 + 2$的图象，并写出对称轴和顶点坐标。

答案：
解：两个函数的图象如图所示.

由图象可知函数$y = \frac{1}{2}(x + 2)^2 - 2$的对称轴为直线$x = -2$，顶点坐标为$(-2,-2)$，函数$y = \frac{1}{2}(x - 1)^2 + 2$的对称轴为直线$x = 1$，顶点坐标为$(1,2)$.

34. 已知二次函数$y = (x + 2)^2 - 1$。
(1)写出这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴；
(2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；
(3)写出当$x$为何值时$y ＞ 0$；
(4)若点$A(-1,y_1),B(\frac{1}{2},y_2)$都在该函数图象上，试比较$y_1$与$y_2$的大小。

答案：
解：
(1)$\because y = (x + 2)^2 - 1$，$\therefore$对称轴为直线$x = -2$，顶点坐标为$(-2,-1)$；
(2)列表：

描点、连线，画图如下：

(3)利用图象可以得出：当$x＜-3$或$x＞-1$时，$y＞0$；
(4)$\because a = 1＞0$，$\therefore$抛物线开口向上，在对称轴$x = -2$的右侧，即$x＞-2$时，$y$随$x$的增大而增大.$\because -2＜-1＜\frac{1}{2}$，$\therefore y_1＜y_2$.

35. 如图，已知二次函数$y = a(x - h)^2 + \sqrt{3}$的图象经过原点$O(0,0),A(2,0)$。
(1)写出该函数图象的对称轴；
(2)若将线段$OA$绕点$O$逆时针旋转$60^{\circ}$到$OA'$，试判断点$A'$是否为该函数图象的顶点？

答案：
解：
(1)$\because$二次函数$y = a(x - h)^2+\sqrt{3}$的图象经过原点$O(0,0)$，$A(2,0)$，由抛物线的对称性可得$h = 1$.$\therefore$该函数图象的对称轴为直线$x = 1$；
(2)点$A'$是该函数图象的顶点.理由如下：如图，作$A'B\perp x$轴于点$B$，$\because$线段$OA$绕点$O$逆时针旋转$60^{\circ}$到$OA'$，$\therefore OA' = OA = 2$，$\angle A'OA = 60^{\circ}$.在$Rt\triangle A'OB$中，易得$\angle OA'B = 30^{\circ}$，$\therefore OB = \frac{1}{2}OA' = 1$，$\therefore A'B = \sqrt{3}OB = \sqrt{3}$，$\therefore$点$A'$的坐标为$(1,\sqrt{3})$.由
(1)知该函数图象的顶点坐标为$(1,\sqrt{3})$，$\therefore$点$A'$为该函数图象的顶点.

36.（呼伦贝尔中考）二次函数$y = (x + 2)^2 - 1$的图象大致为（ ）

答案： D 提示：$\because a = 1＞0$，$\therefore$抛物线开口向上，由解析式可知对称轴为直线$x = -2$，顶点坐标为$(-2,-1)$.

37.（哈尔滨中考）抛物线$y = 2(x + 9)^2 - 3$的顶点坐标是（ ）
A. $(9,-3)$
B. $(-9,-3)$
C. $(9,3)$
D. $(-9,3)$

答案： B

38.（新疆中考）已知抛物线$y = (x - 2)^2 + 1$，下列结论错误的是（ ）
A. 抛物线开口向上
B. 抛物线的对称轴为直线$x = 2$
C. 抛物线的顶点坐标为$(2,1)$
D. 当$x ＜ 2$时，$y$随$x$的增大而增大

答案： D

39. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线$y = -\frac{3}{4}(x - 2)^2 + k$经过坐标原点$O$，与$x$轴的另一个交点为$A$，过该抛物线的顶点$B$分别作$x$轴、$y$轴的垂线，交$x$轴、$y$轴于点$C,D$，则图中阴影部分图形的面积和为 ________ 。

答案： 6 提示：将点$(0,0)$的坐标代入$y = -\frac{3}{4}(x - 2)^2 + k$，得$-3 + k = 0$，解得$k = 3$，则抛物线解析式为$y = -\frac{3}{4}(x - 2)^2 + 3$，$\therefore$顶点为$(2,3)$，根据抛物线的对称性，阴影部分的面积和就是矩形$ODBC$的面积，$\therefore$阴影部分图形的面积和$= OC\cdot BC = 2\times3 = 6$.