《2025年全优课堂九年级数学下册华师大版》

1. (教材P67,练习T1变式)下面给出五个命题: ①正多边形都有内切圆和外接圆,且这两个圆是同心圆; ②各边相等的圆内接多边形是正多边形; ③各角相等的圆内接多边形是正多边形; ④正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形; ⑤正n边形的中心角$\alpha_{n}=\frac{360^{\circ}}{n}$,且与每一个外角相等.其中真命题有 ( )
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个

答案： B 提示：①任何正多边形都有一个内切圆和一个外接圆，且这两个圆是同心圆，圆心是正多边形的中心，正确；②各边相等的圆内接多边形一定是正多边形，正确；③圆内接矩形，各角相等，但不是正多边形，故错误；④边数是偶数的正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形，而边数是奇数的正多边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；⑤正n边形的中心角$\alpha_{n}=\frac{360^{\circ}}{n}$，且与每一个外角相等，正确.故正确的是①②⑤，共有3个.

2. 如图,⊙O的两条直径AB,CD互相垂直,弦MN垂直平分OB,交OB于点E.求证:MB与MC分别为该圆的内接正六边形和正十二边形的边长.

答案：
证明：如图，连结OM.
∵弦MN垂直平分OB，
∴MB = MO = OB，
∴△MOB是等边三角形，
∴∠MOB = 60°.
∵⊙O的内接正六边形的中心角=$\frac{1}{6}\times360^{\circ}=60^{\circ}$，
∴MB为⊙O内接正六边形的边.
∵MN⊥AB，CD⊥AB，
∴MN//CD，
∴∠COM = ∠OME = 90° - ∠MOB = 30°.
∵⊙O的内接正十二边形的中心角=$\frac{1}{12}\times360^{\circ}=30^{\circ}$，
∴CM为⊙O内接正十二边形的边.

3. (教材P67,习题T3变式)如图,正八边形ABCDEFGH内接于⊙O,则∠ADB的度数为 ( )

A. 45°
B. 25°
C. 22.5°
D. 20°

答案：
C 提示：如图，连结OA，OB.
∵八边形ABCDEFGH是⊙O的内接正八边形，
∴∠AOB=$\frac{360^{\circ}}{8}=45^{\circ}$.
由圆周角定理得，
∠ADB=$\frac{1}{2}$∠AOB = 22.5°.

4. 若正六边形的边心距为$2\sqrt{3}$,则这个正六边形的半径为 ( )
A. 1
B. 2
C. 4
D. $2\sqrt{3}$

答案：
C 提示：根据题意画出图形，如图所示，OG为正六边形的边心距，OB为其半径，因为多边形为正六边形，故∠OBA = 60°.在Rt△OGB中，
OB=$\frac{OG}{\sin60^{\circ}}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 4$，即这个正六边形的半径为4.

5. 如图,正方形剪去四个角后成为一个正八边形,如果正八边形的边长为2,求原正方形的边长.

答案：
解：如图，
∵正方形剪去四个角后成为一个正八边形，正八边形每个内角的度数为$\frac{(8 - 2)\times180^{\circ}}{8}=135^{\circ}$，
∴∠CAB = ∠CBA = 45°，
∴AC = BC.
设AC = BC = x，
根据勾股定理得$x^{2}+x^{2}=2^{2}$，
解得$x = \pm\sqrt{2}$（负值舍去），
∴BC = DE=$\sqrt{2}$，
则EC = BC + DE + BD = $2\sqrt{2}+2$，
故原正方形的边长为$2\sqrt{2}+2$.

6. 在圆内接正方形ABCD中,正方形的边长AB是8,则这个正方形的中心角和边心距是 ( )
A. 90°,4
B. 90°,1
C. 45°,4
D. 45°,1

答案：
A 提示：如图，
∵正方形的边长为8，
由中心角只有四个可得出$\frac{360^{\circ}}{4}=90^{\circ}$，
∴中心角是90°；
∵$\sin\angle AOC=\frac{AC}{OA}$，AC=$\frac{8}{2}=4$，∠AOC = 45°，
∴OC = AC = 4，
∴边心距为4.