《2025年全优课堂九年级数学下册华师大版》

7. 已知正六边形的周长是12a,则该正六边形的半径是 ( )
A. 6a
B. 4a
C. 2a
D. $\frac{\sqrt{3}}{2}a$

答案： C

8. 若一个正多边形的中心角等于其内角,则这个正多边形的边数为 ( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

答案： B 提示：由题意得$\frac{360^{\circ}}{n}=\frac{(n - 2)\times180^{\circ}}{n}$，
解得n = 4，故这个正多边形的边数为4.

9. 若正方形的边长为6,则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为 ( )
A. 6,$3\sqrt{2}$
B. $3\sqrt{2}$,3
C. 6,3
D. $6\sqrt{2}$,$3\sqrt{2}$

答案：
B 提示：如图，AO为该正方形外接圆的半径，OB为内切圆的半径.
∵正方形的边长为6，
∴AB = 3.
又
∵∠AOB = ∠OAB = 45°，
∴OB = AB = 3，
∴AO=$\sqrt{3^{2}+3^{2}} = 3\sqrt{2}$，即外接圆半径为$3\sqrt{2}$，内切圆半径为3.

10. 用48 m长的篱笆在空地上围成一个正六边形的绿化场地,那么这个场地的面积为 ( )
A. $16\sqrt{3}$ m²
B. $32\sqrt{3}$ m²
C. $\sqrt{3}$ m²
D. $96\sqrt{3}$ m²

答案：
D 提示：如图，由题意得AB = 48÷6 = 8(m)，过点O作OC⊥AB，
∵AB = BO = AO = 8 m，AC = BC=$\frac{1}{2}$AB = 4 m，
∴CO=$\sqrt{8^{2}-4^{2}} = 4\sqrt{3}$(m)，
∴正六边形的面积为$4\sqrt{3}\times8\times\frac{1}{2}\times6 = 96\sqrt{3}$($m^{2}$).

11. 如图,等边三角形ABC内接于⊙O,若边长为$4\sqrt{3}$ cm,则⊙O的半径为 ( )

A. 6 cm
B. 4 cm
C. 2 cm
D. $2\sqrt{3}$ cm

答案：
B 提示：如图，作OD⊥BC于点D，连结OB.
∵等边三角形ABC内接于⊙O，BC = $4\sqrt{3}$ cm，
∴∠OBD=$\frac{1}{2}$·∠ABC = 30°，BD = DC=$\frac{1}{2}$BC = $2\sqrt{3}$ cm，
∴OB=$\frac{BD}{\cos\angle OBD}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 4$(cm).

12. 如图,⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2,则图中阴影部分的面积为 ( )

A. $\sqrt{3}-\frac{\pi}{2}$
B. $\sqrt{3}-\frac{2\pi}{3}$
C. $2\sqrt{3}-\frac{\pi}{2}$
D. $2\sqrt{3}-\frac{2\pi}{3}$

答案： A 提示：
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB = 60°.
∵OA = OB，
∴△OAB是等边三角形，OA = OB = AB = 2.设点G为AB与⊙O的切点，连结OG，则OG⊥AB，∠BOG = 30°.
∵OB = 2，
∴BG=$\frac{1}{2}$OB = 1，OG=$\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$，
∴$S_{阴影}=S_{\triangle OAB}-\frac{1}{6}S_{\odot O}=\frac{1}{2}\times2\times\sqrt{3}-\frac{1}{6}\pi\cdot(\sqrt{3})^{2}=\sqrt{3}-\frac{\pi}{2}$.

13. 正八边形的中心角等于____度.

答案： 45

14. 一个正多边形的边长为2 cm,它的一个外角是60°,则这个正多边形的面积是____ cm².

答案： $6\sqrt{3}$ 提示：由题意知，正多边形的边数是360°÷60° = 6，正六边形的边长为2 cm.因为正六边形可分成六个全等的等边三角形，且等边三角形的边长与正六边形的边长相等，所以边心距=2×sin60°=$\sqrt{3}$，所以该正六边形的面积=6×$\frac{1}{2}\times\sqrt{3}\times2 = 6\sqrt{3}$($cm^{2}$).

15. 如图,将正六边形ABCDEF放在平面直角坐标系中,中心与坐标原点重合,若点A的坐标为(-1,0),则点C的坐标为__________.

答案： $(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})$ 提示：在题图中连结OE，由正六边形是轴对称图形可知，在Rt△OEG中，∠GOE = 30°，OE = 1，
∴GE=$\frac{1}{2}$，OG=$\sqrt{OE^{2}-GE^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
即点E的坐标为$(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$.
∵点C与点E关于x轴对称，
∴点C的坐标为$(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})$.

16. 如图,正八边形ABCDEFGH的半径为2,它的面积为______.

答案：
$8\sqrt{2}$ 提示：如图，连结AO，BO，CO，AC.
∵正八边形ABCDEFGH的半径为2，
∴AO = BO = CO = 2，∠AOB = ∠BOC=$\frac{360^{\circ}}{8}=45^{\circ}$，
∴∠AOC = 90°，
∴AC = $2\sqrt{2}$.
∵AB = BC，
∴AC⊥BO，
∴$S_{四边形AOCB}=\frac{1}{2}BO\times AC=\frac{1}{2}\times2\times2\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，
∴正八边形的面积为$2\sqrt{2}\times4 = 8\sqrt{2}$.

17. 如图,在图中画出⊙O的内接正三角形. (不写作法,保留作图痕迹)

答案：

18. 如图,AB,CD是⊙O中互相垂直的两条直径,以A为圆心,OA为半径画弧,与⊙O交于E,F两点.
(1)求证:AE是正六边形的一边;
(2)请在图上继续画出这个正六边形.

答案：

19. 如图,AD是正五边形ABCDE的一条对角线,求∠BAD的度数.

答案： 解：
∵正五边形ABCDE的内角和为(5 - 2)×180° = 540°，
∴∠E = ∠BAE=$\frac{1}{5}\times540^{\circ}=108^{\circ}$，又
∵EA = ED，
∴∠EAD=$\frac{1}{2}\times(180^{\circ}-108^{\circ}) = 36^{\circ}$，
∴∠BAD = ∠BAE - ∠EAD = 72°.