《2025年全优课堂九年级数学下册华师大版》

24. 已知抛物线$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$经过点$(1,1)$和$(-1,0)$. 给出下列结论：①$a + c = 1$；②$b^{2}-4ac\geqslant0$；③当$a＜0$时，抛物线与$x$轴必有一个交点在点$(1,0)$的右侧；④抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{1}{4a}$.其中结论正确的有（ ）
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个

答案：  B 提示：①$\because$抛物线经过点$(1,1)$和$(-1,0)$，$\therefore a + b + c = 1$，$a - b + c = 0$，$\therefore b=\frac{1}{2}$，$a + c=\frac{1}{2}$；②$\because$抛物线经过点$(1,1)$和$(-1,0)$，$\therefore\Delta=b^{2}-4ac\geqslant0$；③$\because a<0$，抛物线与$x$轴的一个交点为$(-1,0)$，又经过点$(1,1)$，$\therefore$抛物线与$x$轴必有一个交点在点$(1,0)$的右侧；④对称轴为直线$x=-\frac{\frac{1}{2}}{2a}=-\frac{1}{4a}$.$\therefore$②③④都正确.

25. 若抛物线$y = 2x^{2}-mx - m$的对称轴是直线$x = 2$，则$m=$______.

答案： $8$ 提示：由题意得$-\frac{-m}{2\times2}=2$，解得$m = 8$.

26. 已知抛物线$y = ax^{2}+bx + c$的部分图象如图所示，若$y＞0$，则$x$的取值范围是__________.

答案： $-1\lt x\lt3$ 提示：已知抛物线与$x$轴的一个交点坐标是$(-1,0)$，对称轴为直线$x = 1$，根据对称性，抛物线与$x$轴的另一交点坐标为$(3,0)$，观察图象可知当$y\gt0$时，$-1\lt x\lt3$.

27. 已知抛物线$y = x^{2}-6x + 5$的部分图象如图所示，则抛物线的对称轴为直线$x=$_______，满足$y＜0$的$x$的取值范围是__________，将抛物线$y = x^{2}-6x + 5$向________平移________个单位长度，则得到抛物线$y = x^{2}-6x + 9$.

答案： $3$ $1\lt x\lt5$ 上 $4$

28. 确定抛物线$y = 2x^{2}+4x + 3$的开口方向、对称轴和顶点坐标.

答案： 解：$y = 2x^{2}+4x + 3 = 2(x + 1)^{2}+1$，$\therefore$抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,1)$.

29. 已知二次函数$y = x^{2}-4x + 3$.
（1）用配方法求出二次函数图象的顶点坐标和对称轴；
（2）在如图所示的平面直角坐标系中画出它的图象；
（3）当$x$在什么范围内时，$y$随$x$的增大而增大？当$x$在什么范围内时，$y$随$x$的增大而减小？

答案：
解：
(1)$\because y = x^{2}-4x + 3=(x - 2)^{2}-1$，$\therefore$抛物线开口向上，顶点坐标为$(2,-1)$，对称轴为直线$x = 2$；
(2)作图如下：

(3)$\because y = x^{2}-4x + 3$的对称轴是直线$x = 2$，图象开口向上，$\therefore$当$x\gt2$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x\lt2$时，$y$随$x$的增大而减小.

30.（株洲中考）已知二次函数$y = ax^{2}+bx - c(a\neq0)$，其中$b＞0$，$c＞0$，则该函数的图象可能为（ ）

答案： C 提示：$\because c\gt0$，$\therefore - c\lt0$，故A，D不符合题意；当$a\gt0$时，$\because b\gt0$，$\therefore x=-\frac{b}{2a}\lt0$，对称轴在$y$轴左侧，故B不符合题意；当$a\lt0$时，$b\gt0$，$\therefore x=-\frac{b}{2a}\gt0$，对称轴在$y$轴右侧，故C符合题意.

31.（陕西中考）已知二次函数$y = x^{2}-2x - 3$的自变量$x_{1}$，$x_{2}$，$x_{3}$对应的函数值分别为$y_{1}$，$y_{2}$，$y_{3}$.当$-1＜x_{1}＜0$，$1＜x_{2}＜2$，$x_{3}＞3$时，$y_{1}$，$y_{2}$，$y_{3}$三者之间的大小关系是（ ）
A. $y_{1}＜y_{2}＜y_{3}$
B. $y_{2}＜y_{3}＜y_{1}$
C. $y_{3}＜y_{1}＜y_{2}$
D. $y_{2}＜y_{1}＜y_{3}$

答案： D 提示：$\because$抛物线$y = x^{2}-2x - 3=(x - 1)^{2}-4$，$\therefore$对称轴为直线$x = 1$，顶点坐标为$(1,-4)$，当$y = 0$时，$(x - 1)^{2}-4 = 0$，解得$x=-1$或$x = 3$，$\therefore$抛物线与$x$轴的两个交点坐标为$(-1,0)$，$(3,0)$，$\therefore$当$-1\lt x_{1}\lt0$，$1\lt x_{2}\lt2$，$x_{3}\gt3$时，$y_{2}\lt y_{1}\lt y_{3}$.

32.（广州中考）如图，抛物线$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的对称轴为直线$x=-2$，下列结论正确的是（ ）

A. $a＜0$
B. $c＞0$
C. 当$x＜-2$时，$y$随$x$的增大而减小
D. 当$x＞-2$时，$y$随$x$的增大而减小

答案： C 提示：$\because$抛物线开口向上，$\therefore a\gt0$，故A不正确；$\because$抛物线与$y$轴交于负半轴，$\therefore c\lt0$，故B不正确；$\because$抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-2$，$\therefore$当$x\lt - 2$时，$y$随$x$的增大而减小，$x\gt - 2$时，$y$随$x$的增大而增大，故C正确，D不正确.

33. 对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c$，令$f(x)=ax^{2}+bx + c$，则$f(x_{0})$表示当自变量$x = x_{0}$时的函数值.若$f(5)=f(-3)$，且$f(-2020)=2022$，则$f(2022)=$（ ）
A. -2022
B. 2020
C. -2020
D. 2022

答案： D 提示：$\because f(5)=f(-3)$，$\therefore$函数图象的对称轴为直线$x = 1$，$\therefore f(-2020)=f(2022)$.$\because f(-2020)=2022$，$\therefore f(2022)=2022$.