《2025年全优课堂九年级数学下册华师大版》

21. 已知抛物线$y = a(x - h)^2$，当$x = 2$时，函数有最大值，则当$x$为何值时，$y$随$x$的增大而减小？

答案： 解：
∵抛物线y = a(x - h)²有最大值，
∴该抛物线的开口向下.又
∵当x = 2时，函数有最大值，
∴抛物线的对称轴是直线x = 2，
∴当x ＞ 2时，y随x的增大而减小.

22. 将抛物线$y = \frac{1}{2}x^2$向左平移$t(t＞0)$个单位长度，使之过点$(2,8)$，求$t$的值。

答案： 解：由题意知，平移后的抛物线表达式为y = $\frac{1}{2}$(x + t)².
∵图象过点(2,8)，
∴$\frac{1}{2}$(2 + t)² = 8，解得t₁ = 2，t₂ = - 6.
∵t＞0，
∴t = 2.

23. 如图，直线$l$经过$A(4,0)$和$B(0,4)$两点，抛物线$y = a(x - h)^2$的顶点为$P(1,0)$，直线$l$与抛物线的交点为$M$。
（1）求直线$l$的函数解析式；
（2）若$S_{\triangle AMP}=3$，求抛物线的解析式。

答案： 解：
(1)设直线l的函数解析式为y = kx + b，把A(4,0)，B(0,4)的坐标分别代入关系式得$\begin{cases}4k + b = 0\\b = 4\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = - 1\\b = 4\end{cases}$，
∴直线l的函数解析式为y = - x + 4；
(2)设M点的坐标为(m,n)，
∵S_{\triangle AMP}=3，
∴$\frac{1}{2}$×(4 - 1)n = 3，解得n = 2.把M(m,2)的坐标代入y = - x + 4得2 = - m + 4，解得m = 2，
∴M(2,2).
∵抛物线y = a(x - h)²的顶点为P(1,0)，
∴h = 1，即y = a(x - 1)².把M(2,2)的坐标代入y = a(x - 1)²，得2 = a(2 - 1)²，解得a = 2，
∴抛物线的解析式为y = 2(x - 1)².

24. 已知函数$y = -\frac{1}{4}x^2$，$y = -\frac{1}{4}(x + 2)^2$和$y = -\frac{1}{4}(x - 2)^2$。
（1）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）试说明分别通过怎样的平移，可以由函数$y = -\frac{1}{4}x^2$的图象得到函数$y = -\frac{1}{4}(x + 2)^2$和函数$y = -\frac{1}{4}(x - 2)^2$的图象；
（3）分别说出各个函数的增减性。

答案： 解：
(1)抛物线y = - $\frac{1}{4}$x²的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0,0)，抛物线y = - $\frac{1}{4}$(x + 2)²的开口向下，对称轴为直线x = - 2，顶点坐标为(-2,0)，抛物线y = - $\frac{1}{4}$(x - 2)²的开口向下，对称轴为直线x = 2，顶点坐标为(2,0)；
(2)抛物线y = - $\frac{1}{4}$(x + 2)²由抛物线y = - $\frac{1}{4}$x²向左平移2个单位长度得到，抛物线y = - $\frac{1}{4}$(x - 2)²由抛物线y = - $\frac{1}{4}$x²向右平移2个单位长度得到；
(3)y = - $\frac{1}{4}$x²，当x ＜ 0时，y随着x的增大而增大，当x ＞ 0时，y随着x的增大而减小；y = - $\frac{1}{4}$(x + 2)²，当x ＜ - 2时，y随着x的增大而增大，当x ＞ - 2时，y随着x的增大而减小；y = - $\frac{1}{4}$(x - 2)²，当x ＜ 2时，y随着x的增大而增大，当x ＞ 2时，y随着x的增大而减小.

25.（沈阳中考）在平面直角坐标系中，二次函数$y = a(x - h)^2(a\neq0)$的图象可能是（ ）

答案： D 提示：二次函数y = a(x - h)²(a≠0)的顶点坐标为(h,0)，它的顶点坐标在x轴上.

26.（玉林中考）对于函数$y = -2(x - m)^2$的图象，下列说法不正确的是（ ）
A. 开口向下
B. 对称轴是直线$x = m$
C. 最大值为0
D. 与$y$轴不相交

答案： D 提示：对于函数y = - 2(x - m)²的图象，
∵a = - 2＜0，
∴开口向下，对称轴为直线x = m，顶点坐标为(m,0)，函数有最大值0，故A，B，C正确.x = 0时，y = - 2m²，
∴抛物线与y轴的交点为(0,-2m²)，故D错误.

27.（泰州中考）在函数$y = (x - 1)^2$中，当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而_____。（选填“增大”或“减小”）

答案： 增大

28. 王芳将如图所示的三条水平直线$m_1$，$m_2$，$m_3$的其中一条记为$x$轴（向右为正方向），三条竖直直线$m_4$，$m_5$，$m_6$的其中一条记为$y$轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了抛物线$y = a(x - 1)^2$，则她所选择的$x$轴和$y$轴分别为（ ）

A. $m_1$，$m_4$
B. $m_2$，$m_3$
C. $m_3$，$m_4$
D. $m_4$，$m_5$

答案： C