《2025年全优课堂九年级数学下册华师大版》

22. 如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC.
求证：∠ACB=2∠BAC.

答案： 证明：
∵∠ACB = $\frac{1}{2}$∠AOB，
∠BAC = $\frac{1}{2}$∠BOC，
∠AOB = 2∠BOC，
∴∠ACB = 2∠BAC.

23. 如图，在⊙O中，OA⊥OB，∠A=20°，求∠B的度数.

答案： 解：在题图上连结 OC.
∵OA⊥OB，
∴∠AOB = 90°，
∴∠ACB = 45°.又
∵OA = OC，∠A = 20°，
∴∠ACO = 20°，
∴∠OCB = 45° - 20° = 25°.
又
∵OC = OB，
∴∠B = ∠OCB = 25°.

24. 如图，AB⊥CD，AD=5，BC=3，求∠ABD的正切值.

答案： 解：
∵∠BAD 和∠BCD 都是$\overset{\frown}{BD}$所对的圆周角，
∴∠BAD = ∠BCD.
∵AB⊥CD，
∴∠AED = ∠CEB = 90°，
∴△AED∽△CEB，
∴$\frac{DE}{BE}$ = $\frac{AD}{BC}$ = $\frac{5}{3}$.
∴在 Rt△BDE 中，tan∠ABD = $\frac{DE}{BE}$ = $\frac{5}{3}$，
∴∠ABD 的正切值为$\frac{5}{3}$.

25. 如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是$\overset{\frown}{AD}$的中点，弦CM⊥AB于点F，连结AD，交CF于点P，连结BC，∠DAB=30°.求∠ABC的度数.

答案： 解：在题图上连结 BD.
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ADB = 90°.
∵∠DAB = 30°，
∴∠ABD = 90° - 30° = 60°.
∵C 是$\overset{\frown}{AD}$的中点，
∴∠ABC = ∠DBC = $\frac{1}{2}$∠ABD = 30°.

26. 如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆上的点，且OD⊥AC于点E，连结BE，BC，若AC=8，DE=2.
（1）求半圆的半径长；
（2）求BE的长.

答案： 解：
(1)
∵OD⊥AC 于点 E 且 AC = 8，
∴AE = EC = $\frac{1}{2}$AC = 4.
设半径为 r，则 OE = r - 2.在 Rt△AOE 中，有 r² = 4² + (r - 2)²，解得 r = 5.
即半圆 O 的半径为 5；
(2)
∵AB 为半圆 O 的直径，
∴∠C = 90°，AB = 10，
则 BC = $\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}$ = $\sqrt{10^{2}-8^{2}}$ = 6.
在 Rt△BCE 中有 BE = $\sqrt{BC^{2}+CE^{2}}$ = $\sqrt{6^{2}+4^{2}}$ = 2$\sqrt{13}$.

27.（朝阳中考）如图，在⊙O中，点A是$\overset{\frown}{BC}$的中点，∠ADC=24°，则∠AOB的度数是（ ）

A. 24°
B. 26°
C. 48°
D. 66°

答案： C

28.（兰州中考）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠ACD=40°，则∠B的度数是（ ）

A. 70°
B. 60°
C. 50°
D. 40°

答案： C

29. 某数学研究性学习小组制作了如图所示的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转.从图中所示的图尺可读出sin∠AOB的值是______.

答案：
$\frac{4}{5}$ 提示：如图，连结 AD.
∵OD 是直径，
∴∠OAD = 90°.
∵∠AOB + ∠AOD = 90°，∠AOD + ∠ADO = 90°，
∴∠AOB = ∠ADO，由刻度尺可知，OA = 0.8，
∴sin∠AOB = sin∠ADO = $\frac{0.8}{1}$ = $\frac{4}{5}$.