《2025年全优课堂九年级数学下册华师大版》

11. 在△ABC中，∠A =70°，若O为内心，则∠BOC=_____；若O为外心，则∠BOC=_____.

答案：
125° 140° 提示：如图1，当O为内心时，连结OB，OC.
∵O为内心，
∴BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠OBC = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB = $\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠BOC = 180° - (∠OBC + ∠OCB) = 180° - $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB) = 180° - $\frac{1}{2}$×(180° - 70°) = 125°.如图2，当O为外心时，连结OB，OC，则∠BOC = 2∠A = 140°.

12. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点D是以点A为圆心，4为半径的圆上一点，连结BD，点M为BD中点，线段CM长度的最大值为 ________.

答案：
7 提示：如图，作AB的中点E，连结EM，CE，AD.在Rt△ABC中，AB = $\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$ = $\sqrt{8^{2}+6^{2}}$ = 10.
∵E是Rt△ABC斜边AB上的中点，
∴CE = $\frac{1}{2}$AB = 5.
∵M是BD的中点，E是AB的中点，
∴ME = $\frac{1}{2}$AD = 2，
∴当C，E，M三点共线时CM有最大值，CM的最大值为5 + 2，
∴CM的最大值为7.

13. (8分)如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A，B，C.(网格小正方形边长为1)
(1)该圆弧所在圆的圆心P的坐标为 ______；⊙P的半径为 ________；(结果保留根号)
(2)请判断点M(-1,1)与⊙P的位置关系.

答案：
解：
(1)(2，-1) $2\sqrt{5}$ 提示：作弦AB和BC的垂直平分线，交点P即为圆心，如图所示，则圆心坐标是(2，-1)，r = $\sqrt{4^{2}+2^{2}}$ = $2\sqrt{5}$；
(2)
∵d = $\sqrt{(2 + 1)^{2}+(-1 - 1)^{2}}$ = $\sqrt{13}$ ＜ $2\sqrt{5}$，
∴点M(-1，1)在⊙P内.

14. (10分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3.用直尺和圆规作出该三角形的内切圆(不写作法，保留作图痕迹)，并求出该三角形内切圆的半径长.

答案：
解：作出该三角形的内切圆如图所示，设切点分别是D，E，F，连结OA，OB，OC，OD，OE，OF，设内切圆的半径长为r，则OD = OE = OF = r，AB = $\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$ = $\sqrt{4^{2}+3^{2}}$ = 5.由$S_{\triangle OBC}+S_{\triangle OAC}+S_{\triangle OAB}=S_{\triangle ABC}$，得$\frac{1}{2}$(3r + 4r + 5r) = $\frac{1}{2}$×3×4，解得r = 1，即该三角形内切圆的半径长是1.

15. (12分)如图，PA与⊙O相切于点A，弦AB⊥OP，垂足为点C，OP与⊙O相交于点D，已知OP=4，∠OPA =30°.求OC和AB的长.

答案： 解：
∵PA与⊙O相切于点A，
∴∠OAP = 90°.
∵在Rt△OAP中，∠OPA = 30°，
∴∠AOP = 60°.
∵AB⊥OP，
∴∠OAC = 90° - 60° = 30°，
∴OA = $\frac{1}{2}$OP = 2，OC = $\frac{1}{2}$OA = 1，
∴AC = $\sqrt{OA^{2}-OC^{2}}$ = $\sqrt{2^{2}-1^{2}}$ = $\sqrt{3}$.又
∵OC⊥AB，
∴AB = 2AC = $2\sqrt{3}$.

16. (12分)如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连结DE.
(1)判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长.

答案：
解：
(1)直线DE与⊙O相切.理由如下：如图，连结OD，
∵OD = OA，
∴∠A = ∠ODA.
∵EF是BD的垂直平分线，
∴EB = ED，
∴∠B = ∠EDB.
∵∠C = 90°，
∴∠A + ∠B = 90°，
∴∠ODA + ∠EDB = 90°，
∴∠ODE = 180° - 90° = 90°，即OD⊥DE，又
∵OD是⊙O的半径，
∴直线DE与⊙O相切；
(2)如图，连结OE，设DE = x，则EB = DE = x，CE = 8 - x，OC = AC - OA = 6 - 2 = 4.
∵∠C = ∠ODE = 90°，
∴$OC^{2}+CE^{2}=OE^{2}=OD^{2}+DE^{2}$，即$4^{2}+(8 - x)^{2}=2^{2}+x^{2}$，解得x = 4.75，即DE = 4.75.