《2025年全优课堂九年级数学下册华师大版》

13. (8分)已知函数$y=(m^{2}-m)x^{2}+(m - 1)x + m + 1$.
(1)若这个函数是一次函数,求$m$的值;
(2)若这个函数是二次函数,求$m$的取值范围.

答案： 解：
(1)根据一次函数的定义，得$m^{2}-m = 0$，且$m - 1\neq0$，解得$m = 0$，$\therefore$当$m = 0$时，这个函数是一次函数；
(2)根据二次函数的定义，得$m^{2}-m\neq0$，解得$m\neq0$且$m\neq1$，$\therefore$当$m\neq0$且$m\neq1$时，这个函数是二次函数.

14. (8分)把$y=-\frac{1}{2}x^{2}$的图象先向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度.
(1)求新图象的函数表达式、顶点坐标和对称轴;
(2)列函数对应值表,并作新函数图象;
(3)求函数的最大值或最小值,并求此时$x$的值.

答案：
解：
(1)新图象的函数表达式为$y=-\frac{1}{2}(x - 1)^{2}+2$，所以它的顶点坐标是$(1,2)$，对称轴是直线$x = 1$；
(2)由$y=-\frac{1}{2}(x - 1)^{2}+2$，得
其函数图象如图所示：

(3)由图象可知当$x = 1$时，$y_{最大}=2$.

15. (8分)已知抛物线$y=-2x^{2}-4x + 1$.
(1)求这个抛物线的对称轴和顶点坐标;
(2)将这个抛物线平移,使顶点移到点$P(2,0)$的位置,写出所得新抛物线的表达式和平移的过程.

答案： 解：
(1)$y=-2x^{2}-4x + 1=-2(x + 1)^{2}+3$，所以对称轴是直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,3)$；
(2)$\because$新顶点$P(2,0)$，$\therefore y=-2(x - 2)^{2}$，$\therefore$平移过程为向右平移$3$个单位长度，向下平移$3$个单位长度.

16. (9分)如图,已知$\square ABCD$的周长为8 cm,$\angle B = 30^{\circ}$.若边长$AB$为$x$ cm.写出$\square ABCD$的面积$y$(cm²)与$x$(cm)的函数关系式,并求自变量$x$的取值范围.

答案： 解：在题图上过点$A$作$AE\perp BC$于点$E$.$\because\angle B = 30^{\circ}$，$AB = x\ cm$，$\therefore AE=\frac{1}{2}x\ cm$.$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore AB = DC$，$AD = BC$. 又$\because$平行四边形$ABCD$的周长为$8\ cm$，$\therefore BC=(4 - x)\ cm$，$\therefore y = AE\cdot BC=\frac{1}{2}x\cdot(4 - x)=-\frac{1}{2}x^{2}+2x$，$\therefore\square ABCD$的面积$y(cm^{2})$与$x(cm)$的函数关系式为$y=-\frac{1}{2}x^{2}+2x$.$\because 4 - x＞0$，$\therefore x＜4$. 又$\because x＞0$，$\therefore$自变量$x$的取值范围是$0＜x＜4$.

17. (9分)二次函数$y = x^{2}-2mx + 5m$的图象经过点$(1,-2)$.
(1)求二次函数图象的对称轴;
(2)当$-4\leqslant x\leqslant1$时,求$y$的取值范围.

答案： 解：
(1)把点$(1,-2)$的坐标代入$y=x^{2}-2mx + 5m$中，可得$1 - 2m+5m=-2$，解得$m=-1$，所以二次函数$y=x^{2}-2mx + 5m=x^{2}+2x - 5$，其图象的对称轴是直线$x=-\frac{2}{2}=-1$；
(2)$\because y=x^{2}+2x - 5=(x + 1)^{2}-6$，$\therefore$当$x=-1$时，$y$取得最小值$-6$，当$x=-4$时，$y = 3$，当$x = 1$时，$y=-2$，$\therefore$当$-4\leqslant x\leqslant1$时，$-6\leqslant y\leqslant3$.

18. (10分)如图,顶点为$M$的抛物线$y = a(x + 1)^{2}-4$分别与$x$轴相交于点$A$,$B$(点$A$在点$B$的右侧),与$y$轴相交于点$C(0,-3)$.
(1)求抛物线的表达式;
(2)判断$\triangle BCM$是否为直角三角形,并说明理由.

答案： 解：
(1)$\because$抛物线$y=a(x + 1)^{2}-4$与$y$轴相交于点$C(0,-3)$，$\therefore-3=a - 4$，$\therefore a = 1$，$\therefore$抛物线表达式为$y=(x + 1)^{2}-4$；
(2)$\triangle BCM$是直角三角形. 理由：由
(1)知，抛物线表达式为$y=(x + 1)^{2}-4$，$\therefore M(-1,-4)$. 令$y = 0$，则$(x + 1)^{2}-4 = 0$，$\therefore x_{1}=-3$，$x_{2}=1$，$\therefore A(1,0)$，$B(-3,0)$.$\because C(0,-3)$，$\therefore BC^{2}=9 + 9 = 18$，$CM^{2}=1 + 1 = 2$，$BM^{2}=4 + 16 = 20$，$\therefore BC^{2}+CM^{2}=BM^{2}$，$\therefore\triangle BCM$是直角三角形.