《2025年全优课堂九年级数学下册华师大版》

1. 已知二次函数$y = ax^{2}+bx$的图象如图所示，那么$a,b$的符号为 （ ）

A. $a＞0,b＞0$
B. $a＜0,b＞0$
C. $a＞0,b＜0$
D. $a＜0,b＜0$

答案： C

2. 二次函数$y = ax^{2}+bx+c$的图象如图所示，对称轴是直线$x = - 1$，有以下结论：①$abc＞0$；②$4ac＜ b^{2}$；③$2a + b = 0$；④$a - b + c＞2$.
其中正确的结论有 （ ）

A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

答案： C 提示：
∵抛物线开口向下，
∴$a＜0$。
∵抛物线的对称轴为直线$x = - \frac{b}{2a} = - 1$，
∴$b = 2a＜0$。
∵抛物线与$y$轴的交点在$x$轴上方，
∴$c＞0$，
∴$abc＞0$，
∴①正确。
∵抛物线与$x$轴有 2 个交点，
∴$\Delta = b^{2} - 4ac＞0$，$4ac ＜ b^{2}$，
∴②正确。
∵$b = 2a$，
∴$2a - b = 0$，
∴③错误。
∵抛物线开口向下，直线$x = - 1$是对称轴，
∴$x = - 1$对应的$y$值是最大值，又
∵抛物线过点$(0,2)$，
∴$a - b + c＞2$，
∴④正确。

3. 二次函数$y = a(x + m)^{2}+n$的图象如图所示，则一次函数$y = mx + n$的图象经过第_____象限.

答案： 二、三、四 提示：
∵抛物线的顶点$(-m,n)$在第四象限，
∴$-m＞0$，$n＜0$，
∴$m＜0$，$n＜0$，
∴一次函数$y = mx + n$的图象经过第二、三、四象限。

4. 在平面直角坐标系中，抛物线$y = mx^{2}+2mx - 3$与$y$轴交于点$C$，该抛物线对称轴与$x$轴交于点$A$.
（1）求该抛物线的对称轴及点$A,C$的坐标；
（2）点$A$向右移动两个单位长度，再向上移动两个单位长度，得到点$B$，当抛物线与线段$AB$恰有一个交点时，结合图象，求$m$的取值范围.

答案：
解：
(1)由题意，当$x = 0$时，$y = - 3$。
∴$C(0,-3)$。
∵$y = mx^{2} + 2mx - 3$，
∴抛物线的对称轴为直线$x = - \frac{2m}{2m} = - 1$。
∴$A(-1,0)$；
(2)
∵$A(-1,0)$，点$A$向右移动两个单位长度，再向上移动两个单位长度，得到点$B(1,2)$，分$m＞0$和$m＜0$两种情况考虑：①当$m＞0$时，如图 1 所示。
∴$m + 2m - 3\geq2$，
∴$m\geq\frac{5}{3}$；②当$m＜0$时，如图 2 所示。
∵$y = mx^{2} + 2mx - 3 = m(x + 1)^{2} - m - 3$，
∴$-m - 3\geq0$，
∴$m\leq - 3$。综上所述，$m$的取值范围为$m\geq\frac{5}{3}$或$m\leq - 3$。 　

5. 二次函数$y = ax^{2}+bx+c(a\neq0)$的图象如图所示，对称轴是直线$x = 1$，则下列四个结论错误的是 （ ）

A. $c＞0$
B. $2a + b = 0$
C. $b^{2}-4ac＞0$
D. $a - b + c＞0$

答案： D 提示：A.因为二次函数的图象与$y$轴的交点在$y$轴的正半轴上，所以$c＞0$，正确；B.由抛物线对称轴是直线$x = - \frac{b}{2a} = 1$，得$2a + b = 0$，正确；C.由题图知二次函数图象与$x$轴有两个交点，故有$b^{2} - 4ac＞0$，正确；D.直线$x = - 1$与抛物线交于$x$轴的下方，即当$x = - 1$时，$y＜0$，所以$y = ax^{2} + bx + c = a - b + c＜0$，错误。

6. 如图，二次函数$y = ax^{2}+bx+c$的图象与$x$轴交于$B,C$两点，交$y$轴于点$A$.
（1）根据图象确定$a,b,c$的符号；
（2）如果$OC = OA=\frac{1}{3}OB,BC = 4$，求这个二次函数的表达式.

答案： 解：
(1)
∵抛物线开口向上，
∴$a＞0$。又
∵对称轴在$y$轴左侧，
∴$x = - \frac{b}{2a}＜0$，
∴$a$，$b$同号，即$b＞0$。
∵抛物线与$y$轴交于负半轴，
∴$c＜0$。综上所述，$a＞0$，$b＞0$，$c＜0$；
(2)
∵$OC = OA = \frac{1}{3}OB$，$BC = 4$，
∴点$A$的坐标为$(0,-1)$，点$B$的坐标为$(-3,0)$，点$C$的坐标为$(1,0)$。把$A$，$B$，$C$三点的坐标分别代入$y = ax^{2} + bx + c$中可得，$\begin{cases}-1 = c \\0 = 9a - 3b + c \\0 = a + b + c\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = \frac{1}{3} \\b = \frac{2}{3} \\c = - 1\end{cases}$，
∴该二次函数的表达式是$y = \frac{1}{3}x^{2} + \frac{2}{3}x - 1$。