《2025年全优课堂九年级数学下册华师大版》

1. 将二次函数$y = x^{2}-2x + 3$化为$y=(x - h)^{2}+k$的形式，结果为（ ）
A. $y=(x + 1)^{2}+4$
B. $y=(x - 1)^{2}+4$
C. $y=(x + 1)^{2}+2$
D. $y=(x - 1)^{2}+2$

答案： D 提示：$y = x^{2}-2x + 3 = x^{2}-2x + 1-1 + 3=(x - 1)^{2}+2$.

2. 二次函数$y = 2x^{2}+8x + 7$的图象大致是（ ）

答案： C 提示：$y = 2x^{2}+8x + 7 = 2(x + 2)^{2}-1$，$\therefore$图象开口向上，对称轴为直线$x = - 2$，顶点为$(-2,-1)$.

3.（教材P18，T3变式）已知二次函数$y = ax^{2}+bx + c$，当$a = 1$，$b=-2$，$c = 1$时，请在下图的平面直角坐标系中画出此时二次函数的图象.

答案：
解：当$a = 1$，$b = - 2$，$c = 1$时，$y = x^{2}-2x + 1=(x - 1)^{2}$，$\therefore$该二次函数图象的顶点坐标为$(1,0)$，对称轴为直线$x = 1$.
列表：
|$x$|$\cdots$|$-1$|$0$|$1$|$2$|$3$|$\cdots$|
|$y$|$\cdots$|$4$|$1$|$0$|$1$|$4$|$\cdots$|
描点、连线，画出图象如下：

4. 如图，先在平面直角坐标系中画出二次函数$y=-x^{2}+2x$的大致图象；再在同一个平面直角坐标系中画出$y=-x^{2}+2x$的图象向上平移两个单位后的大致图象.

答案：
解：作图如下：

5. 抛物线$y=-x^{2}+2x + 3$的顶点坐标是（ ）
A. $(-1,4)$
B. $(1,3)$
C. $(-1,3)$
D. $(1,4)$

答案： D 提示：$\because y=-x^{2}+2x + 3=-(x^{2}-2x + 1)+1 + 3=-(x - 1)^{2}+4$，$\therefore$抛物线$y=-x^{2}+2x + 3$的顶点坐标是$(1,4)$.

6. 已知二次函数$y=-x^{2}+2x + 1$，若$y$随$x$的增大而增大，则$x$的取值范围是（ ）
A. $x＜1$
B. $x＞1$
C. $x＜2$
D. $x＞2$

答案： A 提示：$\because a=-1\lt0$，$\therefore$二次函数图象开口向下，又$\because$对称轴是直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\times(-1)} = 1$，$\therefore$当$x\lt1$时，$y$随$x$的增大而增大.

7. 若$A(2,y_{1})$，$B(-3,y_{2})$，$C(-1,y_{3})$三点在抛物线$y = x^{2}-4x - m$上，则$y_{1}$，$y_{2}$，$y_{3}$的大小关系是（ ）
A. $y_{1}＞y_{2}＞y_{3}$
B. $y_{2}＞y_{1}＞y_{3}$
C. $y_{2}＞y_{3}＞y_{1}$
D. $y_{3}＞y_{1}＞y_{2}$

答案： C 提示：$\because$二次函数$y = x^{2}-4x - m$中$a = 1\gt0$，$\therefore$抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=2$.$\because A(2,y_{1})$中$x = 2$，$\therefore y_{1}$最小，又$\because B(-3,y_{2})$，$C(-1,y_{3})$都在对称轴的左侧，而在对称轴的左侧，即当$x\lt2$时，$y$随$x$的增大而减小，故$y_{2}\gt y_{3}$.$\therefore y_{2}\gt y_{3}\gt y_{1}$.

8. 如果抛物线$y=\frac{1}{2}x^{2}+(m - 1)x - m + 2$的对称轴是直线$x = 3$，那么$m$的值是________.

答案： $-2$ 提示：$\because$抛物线$y=\frac{1}{2}x^{2}+(m - 1)x-m + 2$的对称轴是直线$x = 3$，$\therefore-\frac{b}{2a}=3$，即$-\frac{m - 1}{2\times\frac{1}{2}}=3$，解得$m=-2$.

9. 如果抛物线$y=(2 - a)x^{2}+3x - a$的开口向上，那么$a$的取值范围是________.

答案： $a\lt2$ 提示：因为抛物线$y=(2 - a)x^{2}+3x - a$的开口向上，所以$2 - a\gt0$，即$a\lt2$.

10.（教材P18，T2变式）已知抛物线$y=-\frac{1}{2}x^{2}-x + 4$.
（1）确定它的顶点坐标和对称轴；
（2）$x$取何值时，$y$随$x$的增大而减小？

答案： 解：
(1)$\because y=-\frac{1}{2}x^{2}-x + 4$，其中$a=-\frac{1}{2}$，$b=-1$，$c = 4$，$\therefore-\frac{b}{2a}=-\frac{-1}{2\times(-\frac{1}{2})}=-1$，$\frac{4ac - b^{2}}{4a}=\frac{4\times(-\frac{1}{2})\times4-(-1)^{2}}{4\times(-\frac{1}{2})}=\frac{9}{2}$，$\therefore$它的顶点坐标为$(-1,\frac{9}{2})$，对称轴为直线$x=-1$；
(2)$\because$抛物线对称轴是直线$x=-1$，开口向下，$\therefore$当$x\gt - 1$时，$y$随$x$的增大而减小.

11. 函数$y = ax^{2}+bx + c$的图象如图所示，下列选项不正确的是（ ）

A. $a＞0$
B. $c＞0$
C. $b＞0$
D. $a + b - c＞0$

答案： B 提示：由图象开口向上可得$a\gt0$，故A正确；由$x=-\frac{b}{2a}\lt0$，可得$b\gt0$，故C正确；由二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图象交$y$轴于负半轴可得$c\lt0$，故B错误；$\because a\gt0$，$b\gt0$，$c\lt0$，$\therefore - c\gt0$，$\therefore a + b - c\gt0$，可得D正确.