《2025年全优课堂九年级数学下册华师大版》

1. 已知二次函数的图象经过点$(-1,-5)$，$(0,-4)$和$(1,1)$，则这个二次函数的表达式为( )
A. $y = -6x^2 + 3x + 4$
B. $y = -2x^2 + 3x - 4$
C. $y = x^2 + 2x - 4$
D. $y = 2x^2 + 3x - 4$

答案： D　提示:设所求二次函数的表达式为y=ax²+bx+c,把(−1,−5),(0,−4),(1,1)分别代入，得$\begin{cases}a - b + c = -5\\c = -4\\a + b + c = 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 2\\b = 3\\c = -4\end{cases}$，故所求二次函数的表达式为y=2x²+3x−4。

2. 已知抛物线的顶点坐标是$(2,1)$，且抛物线的图象经过点$(3,0)$，则这条抛物线的表达式是( )
A. $y = -x^2 - 4x - 3$
B. $y = -x^2 - 4x + 3$
C. $y = x^2 - 4x - 3$
D. $y = -x^2 + 4x - 3$

答案： D　提示:可设抛物线的表达式为y=a(x−2)²+1,将点(3,0)的坐标代入求得a=−1,则抛物线表达式为y=−(x−2)²+1=−x²+4x−3。

3. (教材P24，T5高仿)如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为12 m，宽为5 m，抛物线的最高点$C$与路面$AA_1$的距离为8 m，过$AA_1$的中点$O$建立如图所示的平面直角坐标系，则该抛物线的函数表达式为_______.

答案： y=−$\frac{1}{12}$x²+8　提示:由题意可得，点C的坐标为(0,8),点B的坐标为(−6,5),设此抛物线的表达式为y=ax²+8,则有5=a×(−6)²+8,解得a=−$\frac{1}{12}$,
∴此抛物线的表达式为y=−$\frac{1}{12}$x²+8。

4. 若抛物线$y = ax^2 + c$与$y = 2x^2$的形状相同，开口方向相反，且其顶点坐标是$(0,-2)$，则该抛物线的表达式是________________.

答案： y=−2x²−2　提示:根据题意得a=−2,即抛物线的表达式为y=−2x²+c,把(0,−2)代入得c=−2,则该抛物线表达式为y=−2x²−2。

5. 已知抛物线$y = -x^2 + bx + c$的对称轴为直线$x = 1$，且与$x$轴的一个交点坐标为$(3,0)$，那么它对应的函数表达式是____________.

答案： y=−x²+2x+3　提示:
∵抛物线y=−x²+bx+c的对称轴为直线x=1,
∴$\frac{b}{2}$=1,解得b=2。
∵与x轴的一个交点坐标为(3,0),
∴0=−9+6+c,解得c=3,故二次函数的表达式为y=−x²+2x+3。

6. 如图，直线$y = x + 2$与$x$轴交于点$A$，与$y$轴交于点$B$，$AB\perp BC$，且点$C$在$x$轴上.
(1)点$C$坐标为__________；
(2)若抛物线$y = ax^2 + bx + c$以$C$为顶点，且经过点$B$，求这条抛物线的解析式.

答案： 解:
(1)(2,0)
(2)设抛物线的表达式为y=a(x−2)²。
∵抛物线过B(0,2),
∴4a=2,即a=$\frac{1}{2}$,
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$(x−2)²=$\frac{1}{2}$x²−2x+2。

7. 如图，已知二次函数的图象与$x$轴交于点$A(1,0)$和点$B$，与$y$轴交于点$C(0,6)$，对称轴为直线$x = 2$，求二次函数表达式并写出图象最低点的坐标.

答案： 解:设二次函数表达式为y=a(x−2)²+k,把A(1,0),C(0,6)的坐标分别代入得$\begin{cases}a + k = 0\\4a + k = 6\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 2\\k = -2\end{cases}$，则二次函数的表达式为y=2(x−2)²−2=2x²−8x+6。二次函数图象的最低点坐标为(2,−2)。

8. 已知二次函数$y = x^2 - mx + n$的图象与$y$轴的交点到原点的距离是2，且函数图象的对称轴为直线$x = 1$.求该函数解析式.

答案： 解:因为函数图象的对称轴为直线x=1,所以−$\frac{−m}{2}$=1,解得m=2。二次函数y=x²−mx+n的图象与y轴的交点到原点的距离是2,则与y轴的交点坐标是(0,2)或(0,−2)。当与y轴的交点坐标是(0,2)时,代入y=x²−2x+n得n=2,则函数解析式是y=x²−2x+2;当与y轴的交点坐标是(0,−2)时,代入y=x²−2x+n,则n=−2,则函数解析式是y=x²−2x−2。