《2025年全优课堂九年级数学下册华师大版》

25. 已知抛物线$y = ax^{2}+n$与抛物线$y = -2x^{2}$的形状相同,且其图象上与$x$轴最近的点到$x$轴的距离为 3.
(1)求$a,n$的值;
(2)指出抛物线$y = ax^{2}+n$的开口方向、对称轴及顶点坐标.

答案： 解：
(1)$\because$抛物线$y = ax^{2}+n$与抛物线$y=-2x^{2}$的形状相同，$\therefore a=\pm2$.$\because$其图象上与$x$轴最近的点（即顶点）到$x$轴的距离为3，$\therefore$当$a = 2$时，$n = 3$，当$a=-2$时，$n=-3$；
(2)当$a = 2$时，抛物线为$y = 2x^{2}+3$，开口向上，对称轴是直线$x = 0$，即$y$轴，顶点坐标是$(0,3)$；当$a=-2$时，抛物线为$y=-2x^{2}-3$，开口向下，对称轴是直线$x = 0$，即$y$轴，顶点坐标是$(0,-3)$.

26. 如图,二次函数$y = -\frac{1}{2}x^{2}+2(-2\leqslant x\leqslant2)$的图象与$x$轴、$y$轴分别交于点$A,B,C$.
(1)直接写出点$A,B,C$的坐标;
(2)设点$P(x,y)$为该图象上的任意一点,连结$OP$,求$OP$长度的范围.

答案： 解：
(1)$A(-2,0)$，$B(2,0)$，$C(0,2)$；
(2)由题意得$OP^{2}=x^{2}+y^{2}=x^{2}+(-\frac{1}{2}x^{2}+2)^{2}=\frac{1}{4}(x^{2}-2)^{2}+3(-2\leqslant x\leqslant2)$；当$x^{2}=2$，即$x=\pm\sqrt{2}$时，$OP^{2}$取得最小值，最小值为3，所以$OP$的最小值为$\sqrt{3}$.当$x=-2$，0或2时，$OP^{2}$取得最大值，最大值为4，所以$OP$的最大值为2.所以$OP$长度的范围为$\sqrt{3}\leqslant OP\leqslant2$.

27. (湖州中考)将抛物线$y = x^{2}$向上平移 3 个单位长度,所得抛物线的解析式是 （ ）
A. $y = x^{2}+3$
B. $y = x^{2}-3$
C. $y=(x + 3)^{2}$
D. $y=(x - 3)^{2}$

答案： A

28. (西宁中考)函数$y = ax^{2}+1$和$y = ax + a(a$为常数,且$a\neq0)$,在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是 （ ）

答案： D

29. (荆门中考)抛物线$y = x^{2}+3$上有两点$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$,若$y_{1}＜y_{2}$,则下列结论正确的是 （ ）

A. $0\leqslant x_{1}＜x_{2}$
B. $x_{2}＜x_{1}\leqslant0$
C. $x_{2}＜x_{1}\leqslant0$或$0\leqslant x_{1}＜x_{2}$
D. 以上都不对

答案： D 提示：抛物线$y = x^{2}+3$开口向上，对称轴为$y$轴.$\because$抛物线$y = x^{2}+3$上有两点$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，且$y_{1}＜y_{2}$，$\therefore|x_{1}|＜|x_{2}|$，$\therefore0\leqslant x_{1}＜x_{2}$或$x_{2}＜x_{1}\leqslant0$或$0＜-x_{1}＜x_{2}$或$0＜x_{1}＜-x_{2}$.

30. (成都中考)二次函数$y = 2x^{2}-3$的图象是一条抛物线,下列关于该抛物线的说法,正确的是 （ ）
A. 抛物线开口向下
B. 抛物线经过点$(2,3)$
C. 抛物线的对称轴是直线$x = 1$
D. 抛物线与$x$轴有两个交点

答案： D 提示：A.$a = 2$，则抛物线$y = 2x^{2}-3$的开口向上，所以A错误；B.当$x = 2$时，$y = 2\times4 - 3 = 5$，则抛物线不经过点$(2,3)$，所以B错误；C.抛物线的对称轴为直线$x = 0$，所以C错误；D.画出该函数图象，可观察到抛物线与$x$轴有两个交点，所以D正确.

31. 两个二次函数图象的顶点,开口方向都相同,则称这两个二次函数为“同簇二次函数”.下列各组二次函数中,是“同簇二次函数”的是______.(填序号)
①$y = x^{2}+1$与$y = 2x^{2}$;
②$y = -x^{2}+2$与$y = 2x^{2}-2$;
③$y = -x^{2}+3$与$y = x^{2}+3$;
④$y = 4x^{2}+3$与$y = 2x^{2}+3$.

答案： ④