《2025年全优课堂九年级数学下册华师大版》

9. 已知抛物线E:y=-2x²-4x,将其向右平移两个单位长度后得到抛物线F.
(1)求抛物线F的表达式;
(2)设抛物线F和x轴相交于点O、点B(点B位于点O的右侧),顶点为C,点A位于y轴负半轴上,且到x轴的距离等于点C到x轴的距离的2倍,求AB所在直线的表达式.

答案： 解：
(1)$\because$抛物线$E:y = -2x^{2}-4x=-2(x + 1)^{2}+2$，将其向右平移两个单位长度后得到抛物线$F$，$\therefore$抛物线$F$的表达式为$y = -2(x + 1 - 2)^{2}+2$，即$y = -2(x - 1)^{2}+2$；
(2)$\because y = -2(x - 1)^{2}+2$，$\therefore$顶点$C$的坐标为$(1,2)$.当$y = 0$时，$-2(x - 1)^{2}+2 = 0$，解得$x_{1}=0$，$x_{2}=2$，$\therefore$点$B$的坐标为$(2,0)$.设点$A$坐标为$(0,y)$，则$y\lt0$.$\because$点$A$到$x$轴的距离等于点$C$到$x$轴的距离的$2$倍，$\therefore -y = 2\times2$，解得$y = -4$，$\therefore$点$A$坐标为$(0,-4)$.设$AB$所在直线的表达式为$y = kx + b(k\neq0)$，把点$A$，$B$的坐标代入，得$\begin{cases}b = -4,\\2k + b = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = 2,\\b = -4,\end{cases}$ $\therefore AB$所在直线的表达式为$y = 2x - 4$.

10. 已知二次函数y=$\frac{1}{2}$x²-3x+1.
(1)若把它的图象向右平移1个单位长度,向下平移3个单位长度,求所得图象的函数表达式;
(2)若把它的图象绕它的顶点旋转180°,求所得图象的函数表达式;
(3)若把它沿x轴翻折,求所得图象的函数表达式.

答案： 解：
(1)$\because y=\frac{1}{2}x^{2}-3x + 1=\frac{1}{2}(x - 3)^{2}-\frac{7}{2}$，$\therefore$把它的图象向右平移$1$个单位长度，向下平移$3$个单位长度得到的图象的函数的表达式为$y=\frac{1}{2}(x - 3 - 1)^{2}-\frac{7}{2}-3$，即$y=\frac{1}{2}(x - 4)^{2}-\frac{13}{2}=\frac{1}{2}x^{2}-4x+\frac{3}{2}$；
(2)因为图象绕它的顶点旋转$180^{\circ}$后，其对称轴与顶点坐标均不变，只是图象开口向下，所以所得图象的函数表达式为$y = -\frac{1}{2}(x - 3)^{2}-\frac{7}{2}=-\frac{1}{2}x^{2}+3x - 8$；
(3)$\because y=\frac{1}{2}x^{2}-3x + 1=\frac{1}{2}(x - 3)^{2}-\frac{7}{2}$的图象沿$x$轴翻折后，顶点为$(3,\frac{7}{2})$，且图象开口向下，$\therefore$所求表达式为$y = -\frac{1}{2}(x - 3)^{2}+\frac{7}{2}=-\frac{1}{2}x^{2}+3x - 1$.

11. 如图,铅球的出手点C距地面1 m,出手后的运动路线是抛物线,出手后4 s达到最大高度3 m,则铅球运行路线的表达式为( )

A. h=-$\frac{3}{16}$t²
B. h=-$\frac{3}{16}$t²+t
C. h=-$\frac{1}{8}$t²+t+1
D. h=-$\frac{1}{3}$t²+2t+1

答案： C 提示：根据题意，设二次函数的表达式为$h = a(t - 4)^{2}+3$，抛物线过$(0,1)$，把$(0,1)$代入，解得$a = -\frac{1}{8}$，这个二次函数的表达式为$h = -\frac{1}{8}(t - 4)^{2}+3=-\frac{1}{8}t^{2}+t + 1$.

12. 假设石拱桥的桥拱是抛物线,已知石拱跨径37.02 m,拱高7.23 m.建立如图所示的平面直角坐标系,写出这条抛物线的表达式.

答案： 解：根据图象可知抛物线经过点$(0,7.23)$，$(18.51,0)$，设抛物线的解析式为$y = ax^{2}+7.23$，将$x = 18.51$，$y = 0$代入得$18.51^{2}a=-7.23$，解得$a\approx -0.021$，故这个抛物线的表达式为$y = -0.021x^{2}+7.23$.

13. 如图所示为圆形喷水池喷水时的截面图,在其上建立平面直角坐标系.如果喷头所在处的坐标为A(0,1.25),水流路线最高处的坐标为B(1,2.25),求点B所在抛物线的解析式.

答案： 解：设抛物线的解析式为$y = a(x - 1)^{2}+2.25$，$\because$喷头所在处$A(0,1.25)$，$\therefore 1.25 = a(0 - 1)^{2}+2.25$，解得$a = -1$，所以点$B$所在抛物线的解析式为$y = -(x - 1)^{2}+2.25$.