《2026年长江作业本同步练习册九年级数学下册人教版》

4. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $ y = -x^{2} + ax + b $ 交 $ x $ 轴于 $ A(1,0) $，$ B(3,0) $ 两点，点 $ P $ 是抛物线上在第一象限内的一点，直线 $ BP $ 与 $ y $ 轴相交于点 $ C $。
(1) 求抛物线 $ y = -x^{2} + ax + b $ 的解析式；
(2) 当点 $ P $ 是线段 $ BC $ 的中点时，求点 $ P $ 的坐标；
(3) 在(2)的条件下，求 $ \sin ∠ OCB $ 的值。

答案： 4.
(1) $ y = - x ^ { 2 } + 4 x - 3 $
(2) $ P ( \dfrac { 3 } { 2 } , \dfrac { 3 } { 4 } ) $
(3) $ \dfrac { 2 } { 5 } \sqrt { 5 } $

5. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $ y = -\frac{4}{3}x - 4 $ 分别与 $ x $ 轴，$ y $ 轴交于点 $ A $，$ B $，抛物线 $ y = \frac{5}{18}x^{2} + bx + c $ 恰好经过这两点。
(1) 求此抛物线的解析式；
(2) 若点 $ C $ 的坐标是 $ (0,6) $，将 $ △ ACO $ 绕着点 $ C $ 逆时针旋转 $ 90^{\circ} $ 得到 $ △ ECF $，点 $ A $ 的对应点是点 $ E $。
① 写出点 $ E $ 的坐标，并判断点 $ E $ 是否在此抛物线上；
② 若点 $ P $ 是 $ y $ 轴上的任意一点，求 $ \frac{3}{5}BP + EP $ 取最小值时点 $ P $ 的坐标。

答案： 5.
(1) $ y = \dfrac { 5 } { 1 8 } x ^ { 2 } - \dfrac { 1 } { 2 } x - 4 $
(2) 点 $ E $ 在此抛物线上
(3) 点 $ P $ 的坐标为 $ ( 0 , - \dfrac { 3 } { 2 } ) $