《2026年长江作业本同步练习册九年级数学下册人教版》

7. 在$△ ABC$中，BD 平分$∠ABC$，交 AC 于点 D，点 E 是边 AB 上的一点，连接 DE，$BD^2 = BC·BE$.求证：$△ BCD∽△ BDE$.

答案： 证明：
∵ BD 平分∠ABC，
∴ ∠ABD = ∠CBD。
∵ BD² = BC·BE，
∴ $\frac{BD}{BC} = \frac{BE}{BD}$。
在△BCD 和△BDE 中，
$\begin{cases} \frac{BD}{BC} = \frac{BE}{BD} \\∠CBD = ∠EBD \end{cases}$
∴ △BCD∽△BDE（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。

8. 如图，点 C，D 在线段 AB 上，且$△ PCD$是等边三角形.
（1）当 AC，CD，DB 满足怎样的关系时，$△ ACP∽△ PDB$？
（2）当$△ ACP∽△ PDB$时，求$∠APB$的度数.

答案： 8.
(1)当 $CD^{2} = AC· DB$ 时，$△ ACP ∽ △ PDB$
(2) $∠ APB = 120^{\circ}$

9. 如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ACB = 90^{\circ}$，AC = 6 cm，BC = 8 cm，动点 P 从点 B 出发，在 BA 边上以 5 cm/s 的速度向点 A 匀速运动，同时动点 Q 从点 C 出发，在 CB 边上以 4 cm/s 的速度向点 B 匀速运动，运动时间为 t s（0 ＜ t ＜ 2），连接 PQ.若以 B，P，Q 为顶点的三角形与$△ ABC$相似，求 t 的值.

答案： 9. $t = 1$ 或 $\frac{32}{41}$

10. 如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是边 AD，CD 上的点，AE = ED，DF = $\frac{1}{4}$DC，连接 EF 并延长，交 BC 的延长线于点 G，连接 BE.
（1）求证：$△ ABE∽△ DEF$；

（2）若正方形的边长为 4，求 BG 的长.

答案： 10.
(1)证明略
(2) $BG = 10$