《2026年长江作业本同步练习册九年级数学下册人教版》

17. 如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，点$D$为$AB$边上一点，连接$CD$，过点$D$作$DE⊥ AB$交$AC$于点$E$.
(1) 求证：$△ ADE∽△ ACB$；
(2) 若$CD = CB$，$\frac{AE}{CE}=3$，求$\frac{AD}{BD}$.

答案： 17.
(1)略
(2)$\frac{AD}{AB}=\frac{3}{5}$

18. 如图，在矩形$ABCD$中，$E$为边$CD$上一点，且$AE⊥ BD$.
(1) 求证：$AD^{2}=DE· DC$；
(2)$F$为线段$AE$的延长线上一点，且满足$EF = CF=\frac{1}{2}BD$，求证：$CE = AD$.

答案：
(1) 证明：
∵ 四边形$ABCD$是矩形，
∴ $∠ ADC = 90^{\circ}$，$AD = BC$，$∠ BCD = 90^{\circ}$。
∵ $AE⊥ BD$，
∴ $∠ AED = 90^{\circ}$。
∵ $∠ ADE + ∠ DAE = 90^{\circ}$，$∠ ADE + ∠ CDB = 90^{\circ}$，
∴ $∠ DAE = ∠ CDB$。
在$△ ADE$和$△ DCB$中，
$\begin{cases} ∠ AED = ∠ BCD = 90^{\circ} \\ ∠ DAE = ∠ CDB \end{cases}$，
∴ $△ ADE ∼ △ DCB$。
∴ $\frac{AD}{DC} = \frac{DE}{CB}$。
∵ $AD = CB$，
∴ $\frac{AD}{DC} = \frac{DE}{AD}$，
∴ $AD^{2} = DE · DC$。
(2) 证明：
设$AD = a$，$CD = b$，由
(1)得$AD^{2} = DE · DC$，则$DE = \frac{a^{2}}{b}$，$CE = CD - DE = b - \frac{a^{2}}{b} = \frac{b^{2} - a^{2}}{b}$。
以$A$为原点，$AB$、$AD$为轴建系，$A(0,0)$，$B(b,0)$，$C(b,a)$，$D(0,a)$，$E(\frac{a^{2}}{b},a)$。
直线$AE$：$y = \frac{b}{a}x$，设$F(m,\frac{b}{a}m)$，$BD = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$，则$EF = CF = \frac{1}{2}\sqrt{a^{2} + b^{2}}$。
由$EF^{2} = CF^{2}$得$(m - \frac{a^{2}}{b})^{2} = (m - b)^{2}$，解得$m = \frac{a^{2} + b^{2}}{2b}$。
代入$CF^{2} = \frac{a^{2} + b^{2}}{4}$，化简得$(a^{2} - b^{2})^{2} = a^{2}b^{2}$，即$b^{2} - a^{2} = ab$（舍负）。
∴ $CE = \frac{ab}{b} = a = AD$。
结论：
(1) 得证；
(2) 得证。