《2026年长江作业本同步练习册九年级数学下册人教版》

8. 如图，在$△ ABC$中，$AB = AC$，点$P$在$BC$上.
(1) 求作$△ PCD$，使$D$在$AC$上，且$△ PCD ∽ △ ABP$；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2) 在(1)的条件下，若$∠ APC = 2∠ ABC$，求证：$PD // AB$.

答案：

(1) 
（以点P为顶点，PC为一边，作∠CPD=∠BAP，交AC于点D，△PCD即为所求）。
(2) 证明：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=∠B。设∠B=x，则∠BAC=180°-2x。
∵∠APC=2∠ABC=2x，且∠APC+∠APB=180°，
∴∠APB=180°-2x。
在△ABP中，∠BAP=180°-∠ABP-∠APB=180°-x-(180°-2x)=x。
由
(1)△PCD∽△ABP，得∠CPD=∠BAP=x。
∵∠CPD=∠ABC=x，
∴PD//AB（同位角相等，两直线平行）。

9. 如图，在$△ ABC$中，$D$为$BC$上一点，已知$AD$平分$∠ BAC$，$AD = DC$.
(1) 求证：$△ ABC ∽ △ DBA$；
(2) $S_{△ ABD} = 6$，$S_{△ ADC} = 10$，求$\dfrac{CD}{AC}$.

答案： 9.
(1)略
(2)$ \dfrac{\sqrt{6}}{4} $

10. 如图①，在$△ ABC$中，$BD$平分$∠ ABC$，$BD = CD$，$AB = 4$，$AC = 6$.
(1) 求$CD$的长；
(2) 如图②，$E$为$BC$上的点，作$∠ AEF = ∠ ABC$交$AC$于点$F$，$AE$，$BD$相交于点$G$.
① 求证：$△ ABG ∽ △ ECF$；
② 若$BG = 2CF$，求$\dfrac{BG}{DG}$.

答案： 1. （1）
解：因为$BD$平分$∠ ABC$，所以$∠ ABD=∠ DBC$。
又因为$BD = CD$，所以$∠ DBC=∠ C$，则$∠ ABD=∠ C$。
又$∠ A=∠ A$，所以$△ ABD∼△ ACB$。
根据相似三角形的性质$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{BD}{BC}$，设$CD = BD=x$，$AD = 6 - x$。
由$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AB}$，即$\frac{4}{6}=\frac{6 - x}{4}$。
交叉相乘得：$4×4 = 6×(6 - x)$。
展开得：$16=36 - 6x$。
移项得：$6x = 36 - 16$，$6x = 20$，解得$x=\frac{10}{3}$。
所以$CD=\frac{10}{3}$。
2. （2）
① 证明：
因为$∠ AEF=∠ ABC$，$∠ ABC = 2∠ ABD$，$∠ AEF=∠ EFC+∠ C$，$∠ ABD=∠ C$。
所以$∠ EFC=∠ ABD$。
又$∠ BAG=∠ CEF$（$∠ BAG+∠ BAD=∠ CEF+∠ AEF = 180^{\circ}-∠ ABC$，且$∠ BAD+∠ ABC+∠ C = 180^{\circ}$，$∠ AEF=∠ ABC$，$∠ ABD=∠ C$，通过角的等量代换可得）。
根据两角分别相等的两个三角形相似，所以$△ ABG∼△ ECF$。
② 解：
因为$△ ABG∼△ ECF$，所以$\frac{AB}{EC}=\frac{BG}{CF}$。
已知$BG = 2CF$，$AB = 4$，则$\frac{4}{EC}=\frac{2CF}{CF}=2$，所以$EC = 2$。
由（1）知$BC = 2BD=\frac{20}{3}$，所以$BE=BC - EC=\frac{20}{3}-2=\frac{14}{3}$。
因为$∠ ABD=∠ C$，$∠ BGE=∠ FGC$（对顶角相等），$△ ABG∼△ ECF$，$∠ BAG=∠ CEF$，所以$△ BGE∼△ DGC$。
则$\frac{BG}{DG}=\frac{BE}{CD}$，又$CD=\frac{10}{3}$，$BE=\frac{14}{3}$。
所以$\frac{BG}{DG}=\frac{\frac{14}{3}}{\frac{10}{3}}=\frac{7}{5}$。
综上，（1）$CD$的长为$\frac{10}{3}$；（2）① 证明过程如上述；②$\frac{BG}{DG}=\frac{7}{5}$。