《2026年长江作业本同步练习册九年级数学下册人教版》

1. 如图，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，点$E$是$∠ BAC$和$∠ ABC$角平分线的交点，$AE$的延长线交$BC$于点$F$，交$\odot O$于点$D$，连接$BD$.
(1)求证：$DB=DE$；
(2)若$AE=3$，$DF=4$，求$DB$的长.

答案：
(1) $\because ∠ BED=∠ BAE+∠ ABE,∠ DBE=∠ CBE+∠ CBD$，而 $∠ BAE=∠ CAD=∠ CBD,∠ ABE=∠ CBE,\therefore ∠ BDE=∠ DBE,\therefore DB=DE$.
(2) 易证 $△ ABD∽△ BFD,\therefore \frac{BD}{FD}=\frac{AD}{BD}$.
$\because DF=4,AE=3$. 设 $EF=x$，由
(1) 知 $DB=DE=4+x$，
则有 $\frac{4+x}{4}=\frac{7+x}{4+x}$，解得 $x_{1}=2,x_{2}=-6$ (舍去).
$\therefore DB=4+x=6$

2. 如图，弦$EF⊥$直径$MN$于点$H$，弦$MC$的延长线交$EF$的反向延长线于点$A$，求证：$MA· MC=MB· MD$.

答案： 连接 $ND,NC$，证 $△ MBH∽△ MDN,\therefore MH· MN=MB· MD$，再证 $△ MAH∽△ MNC,\therefore MA· MC=MH· MN,\therefore MA· MC=MB· MD$

3. 如图，$AB$是$\odot O$的直径，$BC$是$\odot O$的弦，直线$MN$与$\odot O$相切于点$C$，过点$B$作$BD⊥ MN$于点$D$.
(1)求证：$∠ ABC=∠ CBD$；
(2)若$BC=4\sqrt{5}$，$CD=4$，求$\odot O$的半径.

答案：
(1) 略
(2) 5

4. 如图，$AB$是$\odot O$的直径，$BC$切$\odot O$于点$B$，$OC//$弦$AD$，过点$D$作$DE⊥ AB$于点$E$，连$AC$交$DE$于点$P$.
求证：(1)$PE=PD$；
(2)$AC· PD=AP· BC$.

答案：
(1) 证明：
∵BC切⊙O于B，
∴∠OBC=90°（切线性质）。
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，故∠AED=∠OBC。
∵OC//AD，
∴∠EAD=∠BOC（同位角相等）。
∴△AED∽△OBC（AA），则AE/OB=DE/BC。
设⊙O半径为r，OB=r，AB=2r，
∴AE/r=DE/BC，得BC=(r·DE)/AE。
∵DE⊥AB，BC⊥AB，
∴DE//BC（垂直于同一直线的两直线平行）。
∴△AEP∽△ABC（AA，∠A公共，∠AEP=∠ABC=90°），则PE/BC=AE/AB。
AB=2r，
∴PE=(AE·BC)/(2r)，将BC=(r·DE)/AE代入得PE=DE/2。
∴PD=DE-PE=DE/2，故PE=PD。
(2) 证明：
∵DE//BC，
∴△AEP∽△ABC，
∴AP/AC=PE/BC。
由
(1)知PE=PD，
∴AP/AC=PD/BC，故AC·PD=AP·BC。