《2026年长江作业本同步练习册九年级数学下册人教版》

19. 如图，四边形 ABCD 为平行四边形，以 CD 为直径作⊙O，⊙O 与边 BC 相交于点 F，⊙O 的切线 DE 与边 AB 相交于点 E，且 AE=3EB.
(1)求证：△ADE∽△CDF；
(2)当 CF:FB=1:2 时，求⊙O 与□ABCD 的面积之比.

答案： 1. （1）证明：
因为$CD$是$\odot O$的直径，所以$∠ DFC = 90^{\circ}$。
因为$DE$是$\odot O$的切线，所以$∠ EDC = 90^{\circ}$。
又因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$∠ A=∠ C$，$∠ ADE+∠ EDC+∠ FDC = 180^{\circ}$，则$∠ ADE+∠ FDC = 90^{\circ}$。
在$Rt△ DFC$中，$∠ C+∠ FDC = 90^{\circ}$，所以$∠ ADE=∠ C$。
因为$∠ A=∠ C$，$∠ ADE=∠ DFC = 90^{\circ}$，所以$△ ADE∼△ CDF$（两角分别相等的两个三角形相似）。
2. （2）设$CF = x$，因为$CF:FB = 1:2$，所以$FB = 2x$，$BC=CF + FB=3x$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD = BC = 3x$，$AB = CD$。
设$EB = y$，因为$AE = 3EB$，所以$AE = 3y$，$AB=AE + EB = 4y$，则$CD = 4y$。
由$△ ADE∼△ CDF$，可得$\frac{AE}{CF}=\frac{AD}{CD}$。
把$AE = 3y$，$CF = x$，$AD = 3x$，$CD = 4y$代入$\frac{AE}{CF}=\frac{AD}{CD}$中，得$\frac{3y}{x}=\frac{3x}{4y}$，即$x^{2}=4y^{2}$，因为$x＞0$，$y＞0$，所以$x = 2y$。
那么$CD = 4y$，$CF = 2y$，在$Rt△ DFC$中，根据勾股定理$DF=\sqrt{CD^{2}-CF^{2}}=\sqrt{(4y)^{2}-(2y)^{2}}=\sqrt{16y^{2}-4y^{2}}=\sqrt{12y^{2}} = 2\sqrt{3}y$。
$\odot O$的面积$S_{\odot O}=π(\frac{CD}{2})^{2}=π(2y)^{2}=4π y^{2}$。
平行四边形$ABCD$的面积$S_{□ABCD}=BC· DF=3x·2\sqrt{3}y$，把$x = 2y$代入得$S_{□ABCD}=3×2y×2\sqrt{3}y = 12\sqrt{3}y^{2}$。
所以$\odot O$与$□ABCD$的面积之比为$\frac{S_{\odot O}}{S_{□ABCD}}=\frac{4π y^{2}}{12\sqrt{3}y^{2}}=\frac{π}{3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}π}{9}$。
综上，（1）已证$△ ADE∼△ CDF$；（2）$\odot O$与$□ABCD$的面积之比为$\frac{\sqrt{3}π}{9}$。

20. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，∠ADC 的平分线 DE 分别交 AC，BC 于点 N，M，交 AB 的延长线于点 E，F 为 EM 的中点，连接 AF，BF，CF，线段 AF 分别交 BD，BC 于点 G，H.
(1)求证：AE=BC；
(2)探究 AF 与 CF 的关系，并说明理由；
(3)若 AD=8，CD=6，求 OG 的长.

答案： 1. （1）证明：
因为四边形$ABCD$是矩形，所以$AD = BC$，$∠ ADC=∠ EAD = 90^{\circ}$。
又因为$DE$平分$∠ ADC$，所以$∠ ADE=∠ CDE = 45^{\circ}$。
在$△ ADE$中，$∠ EAD = 90^{\circ}$，$∠ ADE = 45^{\circ}$，则$∠ E=45^{\circ}$。
所以$∠ ADE=∠ E$，根据等角对等边，可得$AD = AE$。
又因为$AD = BC$，所以$AE = BC$。
2. （2）探究$AF$与$CF$的关系：
关系：$AF = CF$且$AF⊥ CF$。
理由：
因为$∠ EBM=∠ ABC = 90^{\circ}$，$∠ E = 45^{\circ}$，所以$∠ BME = 45^{\circ}$，则$BE = BM$。
又因为$AE = BC$，所以$AE - BE=BC - BM$，即$AB = CM$。
因为$F$为$EM$的中点，$∠ EBM = 90^{\circ}$，所以$BF = EF = FM$，$∠ EBF=∠ E = 45^{\circ}$。
所以$∠ ABF=∠ EBF+∠ ABE = 135^{\circ}$，$∠ FMC=∠ BME+∠ BMC = 135^{\circ}$。
在$△ ABF$和$△ CMF$中：
$\{\begin{array}{l}AB = CM\\∠ ABF=∠ FMC\\BF = FM\end{array} $
根据$SAS$（边角边）定理，$△ ABF≌△ CMF$。
所以$AF = CF$，$∠ AFB=∠ CFM$。
因为$∠ AFB+∠ BFC+∠ CFM = 180^{\circ}$，$∠ AFB=∠ CFM$，$∠ BFC+∠ AFB+∠ AFB = 180^{\circ}$，又$∠ BFC + 2∠ AFB=180^{\circ}$，且$∠ BFC+∠ AFB+∠ AFC = 180^{\circ}$，$∠ AFB+∠ BFC+∠ AFB = 180^{\circ}$，$∠ AFC=∠ AFB+∠ BFC$，因为$∠ BFC + 2∠ AFB=180^{\circ}$，$∠ AFC=∠ AFB+∠ BFC$，由$△ ABF≌△ CMF$得$∠ AFB=∠ CFM$，$∠ BFC+∠ CFM+∠ AFB = 180^{\circ}$，$∠ AFC=∠ AFB+∠ BFC$，$∠ BFC + 2∠ AFB=180^{\circ}$，$∠ AFC = 90^{\circ}$（$∠ AFB+∠ BFC+∠ AFB = 180^{\circ}$，$∠ AFC=∠ AFB+∠ BFC$，$∠ BFC + 2∠ AFB=180^{\circ}$，$∠ AFC = 90^{\circ}$）。
3. （3）求$OG$的长：
因为四边形$ABCD$是矩形，$AD = 8$，$CD = 6$，根据勾股定理$AC=\sqrt{AD^{2}+CD^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=\sqrt{64 + 36}=\sqrt{100}=10$，则$OA=\frac{1}{2}AC = 5$。
因为$△ ABF≌△ CMF$，所以$∠ BAF=∠ MCF$。
又因为$∠ BAF+∠ AHB = 90^{\circ}$，$∠ AHB=∠ CHF$，所以$∠ MCF+∠ CHF = 90^{\circ}$，则$∠ FHC = 90^{\circ}$，即$AF⊥ CF$。
因为$OA = OC$，$AF = CF$，所以$F$在$AC$的垂直平分线上，$O$也在$AC$的垂直平分线上，所以$OF$垂直平分$AC$。
因为$△ ADE$是等腰直角三角形，$AD = 8$，所以$AE = 8$，$BE=AE - AB$，$AB = CD = 6$，则$BE = 2$。
因为$F$为$EM$中点，$△ EBM$是等腰直角三角形，$BE = BM = 2$，$EM=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=2\sqrt{2}$，所以$EF = FM=\sqrt{2}$。
因为$△ ABF≌△ CMF$，$AB = 6$，$BM = 2$，$BC = 8$，$CM = 6$。
因为$OA = OC$，$AF = CF$，$∠ AFC = 90^{\circ}$，$∠ ABC = 90^{\circ}$，$O$为$AC$中点，$F$为$EM$中点。
因为$AB// CD$，所以$△ ABG∼△ ODG$。
设$OG = x$，则$AG = 5 - x$。
因为$\frac{AG}{OG}=\frac{AB}{OD}$，$AC = BD = 10$，$OD=\frac{1}{2}BD = 5$，$AB = 6$。
所以$\frac{5 - x}{x}=\frac{6}{5}$。
交叉相乘得：$5(5 - x)=6x$。
展开得：$25-5x = 6x$。
移项得：$11x = 25$，解得$x=\frac{25}{11}$。
综上，（1）得证$AE = BC$；（2）$AF = CF$且$AF⊥ CF$；（3）$OG$的长为$\frac{25}{11}$。