《2026年长江作业本同步练习册九年级数学下册人教版》

8. 如图①，正方形 $ OABC $ 的边长为 $ 4 $，双曲线 $ y = \dfrac{k}{x}(x ＞ 0) $ 交 $ AB $ 于点 $ M $，且 $ AM = 3BM $.
(1) 求 $ k $ 的值；
(2) 如图②，$ P $ 是双曲线上的点，且 $ OP ⊥ MC $，求点 $ P $ 的坐标；
(3) 如图③，$ N $ 是 $ BC $ 与双曲线 $ y = \dfrac{k}{x}(x ＞ 0) $ 的交点，$ NE ⊥ OA $ 于 $ E $. 直线 $ NE $ 上是否存在点 $ F $，使得 $ △ MAF $ 是腰长为 $ 3 $ 的等腰三角形？若存在，请求出所有可能的点 $ F $ 的坐标；若不存在，请说明理由.

答案： 8.
(1) $ k = 12 $
(2) $ P ( \sqrt { 3 } , 4 \sqrt { 3 } ) $
(3)存在，$ F _ { 1 } ( 3,3 + 2 \sqrt { 2 } ) $，$ F _ { 2 } ( 3,2 \sqrt { 2 } ) $，$ F _ { 3 } ( 3,3 - 2 \sqrt { 2 } ) $，$ F _ { 4 } ( 3 , - 2 \sqrt { 2 } ) $