《2026年长江作业本同步练习册九年级数学下册人教版》

1. 如图，在梯形 $ABCD$ 中，$AD// BC$，$∠ BCD = 90^{\circ}$，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $E$，且 $AC⊥ BD$.
(1) 求证：$CD^{2}=BC· AD$；
(2) 点 $F$ 是边 $BC$ 上的一点，连接 $AF$，与 $BD$ 相交于点 $G$，如果 $∠ BAF=∠ DBF$，求证：$\frac{AG^{2}}{AD^{2}}=\frac{BG}{BD}$.

答案：
(1) 证明：
∵ $AD// BC$，$∠ BCD = 90^{\circ}$，
∴ $∠ ADC = 90^{\circ}$（两直线平行，同旁内角互补）。
∵ $AC⊥ BD$，设交点为$E$，则$∠ AED = ∠ BEC = 90^{\circ}$。
∵ $AD// BC$，
∴ $∠ ADB = ∠ DBC$（内错角相等）。
∵ $∠ ACD + ∠ BCD = 90^{\circ}$，$∠ DBC + ∠ BCD = 90^{\circ}$，
∴ $∠ ACD = ∠ DBC$，故$∠ ACD = ∠ ADB$。
在$Rt△ ADC$和$Rt△ DCB$中，
$∠ ADC = ∠ DCB = 90^{\circ}$，$∠ ACD = ∠ DBC$，
∴ $Rt△ ADC∼ Rt△ DCB$（AA相似）。
∴ $\frac{AD}{DC} = \frac{DC}{BC}$，即$CD^{2}=BC· AD$。
(2) 证明：
设$∠ BAF = ∠ DBF = α$。
∵ $AD// BC$，
∴ $∠ ADB = ∠ DBF = α$（内错角相等），
∴ $∠ BAF = ∠ ADB = α$。
在$△ ABG$和$△ DBA$中，
$∠ BAG = ∠ BDA = α$，$∠ ABG = ∠ DBA$（公共角），
∴ $△ ABG∼△ DBA$（AA相似）。
∴ $\frac{AG}{DA} = \frac{BG}{BA}$，$\frac{AB}{DB} = \frac{BG}{BA}$。
由$\frac{AB}{DB} = \frac{BG}{BA}$得$AB^{2}=BG· BD$。
由$\frac{AG}{DA} = \frac{BG}{BA}$得$\frac{AG}{AD} = \frac{BG}{BA}$，两边平方得$\frac{AG^{2}}{AD^{2}} = \frac{BG^{2}}{BA^{2}}$。
将$AB^{2}=BG· BD$代入上式，得$\frac{AG^{2}}{AD^{2}} = \frac{BG^{2}}{BG· BD} = \frac{BG}{BD}$。
即$\frac{AG^{2}}{AD^{2}}=\frac{BG}{BD}$。

2. 如图，在 $□ ABCD$ 中，$AB = 8$，$AD = 5$，$∠ DAB$，$∠ ABC$ 的平分线 $AE$，$BF$ 分别与直线 $CD$ 交于点 $E$，$F$，求 $EF$ 的长.
(1) 把题目中的条件“$AB = 8$”去掉，其余条件不变.
① 当点 $E$ 与点 $F$ 重合时，求 $AB$ 的长；
② 当点 $E$ 与点 $C$ 重合时，求 $EF$ 的长.
(2) 把题目中的条件“$AB = 8$，$AD = 5$”去掉，其余条件不变，当 $C$，$D$，$E$，$F$ 相邻两点间的距离相等时，求 $\frac{AD}{AB}$ 的值.

答案： 2.
(1)①AB=10 ②EF=5
(2)$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{1}{3}$或$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{2}{3}$