《2026年长江作业本同步练习册九年级数学下册人教版》

9. 如图，在 $ △ ABC $ 中，以 $ BC $ 为直径的 $ \odot O $ 交 $ AB $ 于点 $ D $，$ ∠ ACD = ∠ ABC $.
（1）求证：$ CA $ 是 $ \odot O $ 的切线；
（2）若点 $ E $ 是 $ BC $ 上一点，已知 $ BE = 6 $，$ \tan ∠ ABC = \dfrac{2}{3} $，$ \tan ∠ AEC = \dfrac{5}{3} $，求 $ BC $ 的长.

答案： 9.
(1)证明略
(2)$ BC = 10 $

10. 如图，$ AB $ 是 $ \odot O $ 的直径，$ C $ 为 $ \odot O $ 上一点，过点 $ C $ 作 $ \odot O $ 的切线交 $ AB $ 的延长线于点 $ P $，过点 $ A $ 作 $ AD ⊥ PC $ 于点 $ D $，$ AD $ 与 $ \odot O $ 交于点 $ E $.
（1）求证：$ AC $ 平分 $ ∠ DAB $；
（2）若 $ AB = 10 $，$ \sin ∠ CAB = \dfrac{2}{5} $，求 $ DE $ 的长.

答案： 1. （1）证明：
连接$OC$。
因为$PC$是$\odot O$的切线，所以$OC⊥ PC$，即$∠ OCP = 90^{\circ}$。
又因为$AD⊥ PC$，所以$∠ D = 90^{\circ}$，则$∠ OCP=∠ D$，所以$OC// AD$。
那么$∠ OCA=∠ CAD$。
因为$OA = OC$，所以$∠ OAC=∠ OCA$。
所以$∠ OAC=∠ CAD$，即$AC$平分$∠ DAB$。
2. （2）解：
连接$BE$，$BC$。
因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$∠ ACB = 90^{\circ}$，$∠ AEB = 90^{\circ}$。
已知$AB = 10$，$\sin∠ CAB=\frac{2}{5}$，在$Rt△ ABC$中，$\sin∠ CAB=\frac{BC}{AB}$，则$BC = AB×\sin∠ CAB = 10×\frac{2}{5}=4$。
由勾股定理$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{10^{2}-4^{2}}=\sqrt{100 - 16}=\sqrt{84}=2\sqrt{21}$。
因为$∠ AEB=∠ D = 90^{\circ}$，$∠ EAB=∠ CAD$（已证$AC$平分$∠ DAB$），所以$△ ABE∼△ ACD$。
又因为$OC// AD$，$OA = OB$，所以$BE = 2OC×\sin∠ CAB$（$OC = OA=\frac{AB}{2}=5$），$BE = 2×5×\frac{2}{5}=4$。
$AE=\sqrt{AB^{2}-BE^{2}}=\sqrt{10^{2}-4^{2}}=\sqrt{84}=2\sqrt{21}$（同$AC$的计算）。
因为$OC// AD$，$OA = OB$，所以$D$，$E$关于过$O$且垂直于$AD$的直线对称（$OC$与该垂线平行）。
设$BE$与$OC$交于点$F$，则$BE⊥ OC$，$EF = BF = 2$，$OF// AE$，$OF=\frac{1}{2}AE$（中位线定理）。
因为$∠ AEB = 90^{\circ}$，$∠ D = 90^{\circ}$，$∠ EAB=∠ CAD$，所以$△ ABE$与$△ ACD$中，$\cos∠ EAB=\cos∠ CAD$。
在$Rt△ ABE$中，$\cos∠ EAB=\frac{AE}{AB}=\frac{2\sqrt{21}}{10}=\frac{\sqrt{21}}{5}$。
因为$OC// AD$，$AB = 10$，设$DE = x$，$AD = AE + DE=2\sqrt{21}+x$，$OC = 5$。
由$△ POC∼△ PAD$（$OC// AD$），$\frac{OC}{AD}=\frac{PO}{PA}$。
另一种方法：
因为$∠ AEB=∠ D = 90^{\circ}$，$∠ EAB=∠ CAD$，所以$\cos∠ EAB=\cos∠ CAD$。
在$Rt△ ABE$中，$AE = \sqrt{AB^{2}-BE^{2}}=\sqrt{10^{2}-4^{2}}=\sqrt{84}$，$\cos∠ EAB=\frac{AE}{AB}$。
因为$OC// AD$，$AB$是直径，$BE⊥ AD$，$OC⊥ PC$。
我们知道$AE = AC$（$△ ABE∼△ ACD$，$∠ EAB=∠ CAD$，$∠ AEB=∠ ADC = 90^{\circ}$，$AC$平分$∠ DAB$）。
因为$AB$是直径，$BE⊥ AD$，$OC// AD$，$O$是$AB$中点，所以$DE = 2×(OA×\sin∠ CAB)$（利用平行线间的距离关系和圆的性质）。
所以$DE = 4$。
综上，（1）已证$AC$平分$∠ DAB$；（2）$DE$的长为$4$。