《2026年长江作业本同步练习册九年级数学下册人教版》

1. 如图，CD 是 Rt△ABC 的斜边 AB 上的高，E 为 BC 的中点，ED 的延长线交 CA 的延长线于点 F. 求证：AC·CF = BC·DF.

答案： 1.
∵E 为 BC 的中点，
∴CE=DE，
∴∠ECD=∠EDC，
∴∠ACD=∠EDB=∠ADF，△FDA∽△FCD，
∴$\frac{FD}{FC}=\frac{AD}{CD}$．
∵∠ADC=∠CDB=90°，∠B=∠ACD，
∴△ACD∽△CBD，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{AC}{BC}$，
∴$\frac{FD}{FC}=\frac{AC}{BC}$，即 AC·CF=BC·DF

2. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，E 为 CD 延长线上一点，连接 BE 交⊙O 于点 F. 求证：CF·DE = BC·EF.

答案：
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴由垂径定理得BC=BD（垂直于弦的直径平分弦所对的弧，等弧对等弦）。
∵∠EFC与∠BDC均为弧BC所对的圆周角，
∴∠EFC=∠BDC（同弧所对的圆周角相等）。
∵∠E=∠E（公共角），
∴△EFC∽△EDB（AA相似判定）。
∴EF/ED=FC/DB（相似三角形对应边成比例）。
∵BC=BD，
∴EF/ED=FC/BC，
∴CF·DE=BC·EF。

3. 如图，点 E 是正方形 ABCD 的对角线 AC 上的一个动点（不与 A，C 重合），作 EF⊥AC 交边 BC 于点 F，连接 AF，BE，它们交于点 G.
(1) 求证：△CAF∽△CBE；
(2) 若 AF 平分∠BAC，求证：AC² = 2AG·AF.

答案： 3. （1）△CEF∽△CBA，
∴$\frac{CF}{CA}=\frac{CE}{CB}$，则△CAF∽△CBE
（2）
∵△CAF∽△CBE，
∴∠CAF=∠CBE．
∵AF 平分∠BAC，
∴∠BAF=∠CAF，
∴∠BAF=∠CBE，
∴∠BAF+∠AFB=∠CBE+∠AFB=90°，即∠ABF=∠BGA=90°．
∵∠BAF=∠GAB，
∴△ABF∽△AGB，
∴$\frac{AB}{AG}=\frac{AF}{AB}$，
∴$AB^{2}=AG· AF$．
∵在正方形 ABCD 中，$AC^{2}=2AB^{2}$，
∴$AC^{2}=2AG· AF$

4. 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 E，F 在边 BC 上，满足∠EAF = ∠C.
求证：
(1) BF·CE = AB²；
(2) $\frac{AE^{2}}{AF^{2}} = \frac{CE}{BF}$.

答案：
(1)
∵AB=AC，
∴∠B=∠C。
∵∠EAF=∠C，
∴∠EAF=∠B。
∵∠AEC=∠B+∠BAE（三角形外角性质），∠BAF=∠BAE+∠EAF，∠EAF=∠B，
∴∠BAF=∠AEC。
在△ABF和△ECA中，
∠B=∠C，∠BAF=∠AEC，
∴△ABF∽△ECA（AA）。
∴BF/AC=AB/CE。
∵AB=AC，
∴BF/AB=AB/CE，
∴BF·CE=AB²。
(2) 由
(1)知△ABF∽△ECA，
∴AF/AE=AB/CE，AF/AE=BF/AB。
∴(AF/AE)²=(AB/CE)·(BF/AB)=BF/CE，
∴(AE/AF)²=CE/BF，即AE²/AF²=CE/BF。