《2026年长江作业本同步练习册九年级数学下册人教版》

6. 如图，在矩形 $ AOBC $ 中，已知 $ B(4,0) $，$ A(0,3) $，$ F $ 是边 $ BC $ 上的一个动点（不与 $ B $，$ C $ 重合），反比例函数 $ y = \dfrac{k}{x}(k ＞ 0) $ 的图象过点 $ F $ 且与 $ AC $ 边交于点 $ E $.
(1) 求证：$ △ AOE $ 与 $ △ BOF $ 的面积相等；
(2) 记 $ S = S_{△ OEF} - S_{△ ECF} $，当 $ k $ 为何值时，$ S $ 有最大值，最大值为多少？

答案： 1. （1）证明：
已知$E$在$AC$上，$A(0,3)$，设$E(x_{1},3)$，$F$在$BC$上，$B(4,0)$，设$F(4,y_{1})$。
因为点$E(x_{1},3)$在反比例函数$y = \dfrac{k}{x}(k＞0)$的图象上，将$E(x_{1},3)$代入$y=\dfrac{k}{x}$，可得$k = 3x_{1}$，则$x_{1}=\dfrac{k}{3}$。
根据三角形面积公式$S=\dfrac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），$S_{△ AOE}=\dfrac{1}{2}OA· x_{1}$，$OA = 3$，所以$S_{△ AOE}=\dfrac{1}{2}×3× x_{1}=\dfrac{1}{2}k$。
因为点$F(4,y_{1})$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k＞0)$的图象上，将$F(4,y_{1})$代入$y = \dfrac{k}{x}$，可得$k = 4y_{1}$，则$y_{1}=\dfrac{k}{4}$。
$S_{△ BOF}=\dfrac{1}{2}OB· y_{1}$，$OB = 4$，所以$S_{△ BOF}=\dfrac{1}{2}×4× y_{1}=\dfrac{1}{2}k$。
所以$S_{△ AOE}=S_{△ BOF}$。
2. （2）
因为$OA = 3$，$OB = 4$，所以$C(4,3)$，$E(\dfrac{k}{3},3)$，$F(4,\dfrac{k}{4})$。
根据矩形面积公式$S = ab$（$a$、$b$为矩形的长和宽），$S_{矩形AOBC}=OA× OB=3×4 = 12$。
$S_{△ AOE}=S_{△ BOF}=\dfrac{1}{2}k$，$S_{△ ECF}=\dfrac{1}{2}(4-\dfrac{k}{3})(3 - \dfrac{k}{4})$。
$S_{△ OEF}=S_{矩形AOBC}-S_{△ AOE}-S_{△ BOF}-S_{△ ECF}$
$=12-\dfrac{1}{2}k-\dfrac{1}{2}k - \dfrac{1}{2}(4-\dfrac{k}{3})(3-\dfrac{k}{4})$
先展开$\dfrac{1}{2}(4-\dfrac{k}{3})(3-\dfrac{k}{4})=\dfrac{1}{2}(12 - k - k+\dfrac{k^{2}}{12})=\dfrac{1}{2}(12 - 2k+\dfrac{k^{2}}{12})=6 - k+\dfrac{k^{2}}{24}$。
则$S_{△ OEF}=12 - k-(6 - k+\dfrac{k^{2}}{24})=6-\dfrac{k^{2}}{24}$。
已知$S = S_{△ OEF}-S_{△ ECF}$，$S_{△ ECF}=\dfrac{1}{2}(4-\dfrac{k}{3})(3-\dfrac{k}{4})=6 - k+\dfrac{k^{2}}{24}$，$S_{△ OEF}=6-\dfrac{k^{2}}{24}$。
$S=(6-\dfrac{k^{2}}{24})-(6 - k+\dfrac{k^{2}}{24})$
$S=-\dfrac{k^{2}}{12}+k$。
对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a≠0)$，这里$a =-\dfrac{1}{12}$，$b = 1$，$c = 0$，根据二次函数顶点坐标公式$x=-\dfrac{b}{2a}$，$y=\dfrac{4ac - b^{2}}{4a}$。
对称轴$k=-\dfrac{1}{2×(-\dfrac{1}{12})} = 6$。
因为$a=-\dfrac{1}{12}＜0$，所以当$k = 6$时，$S$有最大值。
把$k = 6$代入$S=-\dfrac{k^{2}}{12}+k$，$S=-\dfrac{6^{2}}{12}+6=-3 + 6=3$。
综上，（1）已证$S_{△ AOE}=S_{△ BOF}$；（2）当$k = 6$时，$S$有最大值，最大值为$3$。

7. 如图，$ A $，$ B $ 分别是 $ x $ 轴正半轴和 $ y $ 轴正半轴上的点，以 $ AB $ 为边在第一象限内作正方形 $ ABCD $，反比例函数 $ y = \dfrac{k}{x}(k ≠ 0) $ 的图象经过点 $ C $.
(1) 若点 $ C $ 的坐标为 $ (2,3) $，则 $ k $ 的值为6；
(2) 若 $ A $，$ B $ 两点的坐标分别为 $ A(2,0) $，$ B(0,2) $，
① 则 $ k $ 的值为8；
② 证明：点 $ D $ 在该反比例函数的图象上.
(3) 若 $ C $，$ D $ 两点都在函数 $ y = \dfrac{2}{x} $ 的图象上，直接写出点 $ C $ 的坐标为$ C(1, 2) $.

答案： 7.
(1) 6

(2) ① 8

② 证明：过点 C 作 CE⊥y 轴于点 E，过点 D 作 DF⊥x 轴于点 F。

∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°。

∵∠OBA+∠EBC=90°，∠OBA+∠OAB=90°，
∴∠EBC=∠OAB。

∵∠AOB=∠BEC=90°，
∴△AOB≌△BEC。

∵A(2,0)，B(0,2)，
∴AO=2，BO=2，
∴BE=AO=2，CE=BO=2，
∴OE=OB+BE=4，
∴C(2,4)，k=2×4=8。

同理可证 △AOB≌△DFA，
∴DF=AO=2，AF=BO=2，
∴OF=OA+AF=4，
∴D(4,2)。

∵4×2=8=k，
∴ 点 D 在该反比例函数的图象上。

(3) (1,2)