《2026年长江作业本同步练习册九年级数学下册人教版》

1. 如图,若$∠1 = ∠2 = ∠B$,则$△ACD∽△$ADE, $△CDE∽△$BCD, $△AED∽△$ACB.

答案： 1. ADE,BCD,ACB

2. 如图,在$△ABC$中,点$D$在$AB$边上,点$E$在$AC$边上,且$∠1 = ∠2 = ∠3$,则与$△ADE$相似的三角形有(C)

A.4 个
B.3 个
C.2 个
D.1 个

答案： 2. C

3. 如图,$D,E$分别是$△ABC$的边$AB,AC$上的点,$∠ADE = ∠ACB$.若$AD = 2,AB = 6,AC = 4$,则$AE$的长是(C)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 3. C

4. 如图,在$△ABC$中,$∠BAC = 90^{\circ},AB = AC$,点$D$是$BC$边上一点,过点$D$作$∠ADE = 45^{\circ},DE$交$AC$于点$E$.求证:$△ABD∽△DCE$.

答案： 证明：
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴△ABC为等腰直角三角形，∠B=∠C=45°．
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=45°+∠BAD．
又
∵∠ADC=∠ADE+∠CDE，∠ADE=45°，
∴∠ADC=45°+∠CDE．
∴45°+∠BAD=45°+∠CDE，
∴∠BAD=∠CDE．
在△ABD和△DCE中，
∠B=∠C=45°，∠BAD=∠CDE，
∴△ABD∽△DCE（两角分别相等的两个三角形相似）．

5. 如图,在矩形$ABCD$中,$AB = 2,BC = 3,M$是$BC$的中点,$DE⊥AM$于点$E$,求$DE$的长.

答案： 5. $\frac{12}{5}$

6. 如图,$CE$是$Rt△ABC$的斜边$AB$上的高,$P$为$CE$的延长线上一点,连接$AP,BG⊥AP$.求证:$CE^{2} = ED· EP$.

答案：
∵CE是Rt△ABC斜边AB上的高，
∴∠AEC=∠CEB=90°，∠ACB=90°，
∵∠A+∠ACE=90°，∠A+∠B=90°，
∴∠ACE=∠B，
∴△AEC∽△CEB（AA），
∴$\frac{AE}{CE}=\frac{CE}{EB}$，即$CE^2=AE·EB$。
∵BG⊥AP，
∴∠AGB=90°，
∴∠GAB+∠ABG=90°，
∵PE⊥AB（CE延长线），
∴∠AEP=90°，
∴∠GAB+∠P=90°，
∴∠ABG=∠P（同角的余角相等）。
∵∠BED=∠AEP=90°，∠ABG=∠P，
∴△BDE∽△PAE（AA），
∴$\frac{BE}{PE}=\frac{DE}{AE}$，即$AE·EB=ED·EP$。
综上，$CE^2=ED·EP$。