《2025年全科王同步课时练习七年级数学上册人教版》

1. (2024·福建龙岩连城县期中)已知 $ a = - 2023$,$b = \frac{1}{2023}$,则多项式 $ 3a^{2} + 2ab - a^{2} - 3ab - 2a^{2}$ 的值为 (B)
A.-1
B.1
C.2023
D.$-\frac{1}{2023}$

答案： B[提示:$3a^{2}+2ab-a^{2}-3ab-2a^{2}=-ab$,当$a=-2023,b=\frac {1}{2023}$时,原式$=-(-2023)×\frac {1}{2023}=1.$]

2. 先化简,再求值：$3 ( a^{2} - 2ab ) - [ a^{2} - 3b + 3 ( ab + b ) ]$,其中 $ a = - 3$,$b = \frac{1}{3}$。

答案： 解:原式$=3a^{2}-6ab-(a^{2}-3b+3ab+3b)=3a^{2}-6ab-a^{2}+3b-3ab-3b=2a^{2}-9ab$,当$a=-3,b=\frac {1}{3}$时,原式$=2×(-3)^{2}-9×(-3)×\frac {1}{3}=18+9=27.$

3. 如果 $ x^{2} + xy = 2$,$xy + y^{2} = 1$,那么 $ x^{2} + 2xy + y^{2}$ 的值是 (D)
A.0
B.1
C.2
D.3

答案： D[提示:因为$x^{2}+2xy+y^{2}=x^{2}+xy+xy+y^{2}$,而$x^{2}+xy=2,xy+y^{2}=1$,所以$x^{2}+2xy+y^{2}=x^{2}+xy+xy+y^{2}=2+1=3.$]

4. 若 $ 5a + 3b$ 的值为 $-2$,则 $ 2 ( a + b ) + 4 ( 2a + b )$ 的值为-4。

答案： -4[提示:原式$=2a+2b+8a+4b=10a+6b$,因为$5a+3b=-2$,所以$10a+6b=2(5a+3b)=2×(-2)=-4.$]

5. (2024·河南南阳宛城区期末)若 $ | x - 2 |$ 与 $ ( y - 1 ) ^{2}$ 互为相反数,则多项式 $ - y - ( x^{2} + 2y^{2} )$ 的值为 (A)
A.-7
B.5
C.-5
D.-13

答案： A[提示:因为$|x-2|$与$(y-1)^{2}$互为相反数,所以$|x-2|+(y-1)^{2}=0$,即$x-2=0,y-1=0$,解得$x=2,y=1$,则$-y-(x^{2}+2y^{2})=-1-(4+2)=-7.$]

6. 已知 $ a$,$b$,$c$ 在数轴上的位置如图所示,化简：$ | 2b + c | + | a - c | - 3 | b + c - a |$。

答案： 解:由题意知$c＜b＜0＜a$,所以$2b+c＜0,a-c＞0,b+c-a＜0$,所以原式$=-2b-c+a-c-3(a-b-c)=-2b-c+a-c-3a+3b+3c=-2a+b+c.$

7. 已知 $ A = 2x^{2} + 3xy - 2x - 1$,$B = - x^{2} + xy - 1$,若 $ A + 2B$ 的值与 $ x$ 的取值无关,则 $ y$ 的值为$\frac {2}{5}$。

答案： $\frac {2}{5}$[提示:$A+2B=2x^{2}+3xy-2x-1+2(-x^{2}+xy-1)=2x^{2}+3xy-2x-1-2x^{2}+2xy-2=5xy-2x-3$,因为$A+2B$的值与$x$的取值无关,所以$5y-2=0$,解得$y=\frac {2}{5}.$]

8. (2024·湖北荆门东宝区期中)若代数式 $ ( 2x^{2} + ax - y + 6 ) - ( bx^{2} - 3x + 5y - 1 )$ 的值与字母 $ x$ 的取值无关,则代数式 $ 2a^{3} - 2b^{2} - ( a^{3} - 3b^{2} )$ 的值为-23。

答案： -23[提示:$(2x^{2}+ax-y+6)-(bx^{2}-3x+5y-1)=2x^{2}+ax-y+6-bx^{2}+3x-5y+1=(2-b)x^{2}+(a+3)x-6y+7$.因为代数式$(2x^{2}+ax-y+6)-(bx^{2}-3x+5y-1)$的值与字母$x$的取值无关,所以$\left\{\begin{array}{l} 2-b=0,\\ a+3=0,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} a=-3,\\ b=2.\end{array}\right. 2a^{3}-2b^{2}-(a^{3}-3b^{2})=2a^{3}-2b^{2}-a^{3}+3b^{2}=a^{3}+b^{2}$.当$a=-3,b=2$时,原式$=(-3)^{3}+2^{2}=-23.$]

9. 定义新运算“$\oplus$”如下：当 $ a \geq b$ 时,$ a \oplus b = b^{3}$；当 $ a ＜ b$ 时,$ a \oplus b = a - 1$,则当 $ x = - 2$ 时,$ ( 1 \oplus x ) \oplus ( - 3 \oplus x )$ 的值是-9。

答案： -9[提示:因为当$x=-2$时,$1\oplus x=1\oplus (-2)=(-2)^{3}=-8,-3\oplus x=-3\oplus (-2)=-3-1=-4$,所以$(1\oplus x)\oplus (-3\oplus x)=-8\oplus (-4)=-8-1=-9.$]

10. 定义：若 $ a + b = m$,则称 $ a$ 与 $ b$ 是关于 $ m$ 的平衡数。
例如：若 $ a + b = 3$,则称 $ a$ 与 $ b$ 是关于 $ 3$ 的平衡数。
(1)① $ 2$ 与1是关于 $ 3$ 的平衡数；
② $ 4 - x$ 与$x-1$是关于 $ 3$ 的平衡数(用含 $ x$ 的式子表示)。
(2)若 $ a = 2x^{2} - 3 ( x^{2} + x ) + 4$,$b = 5x - [ 3x - ( x + x^{2} ) + 1 ]$,判断 $ a$ 与 $ b$ 是不是关于 $ 0$ 的平衡数,并说明理由。
解:因为$a=2x^{2}-3(x^{2}+x)+4,b=5x-[3x-(x+x^{2})+1]$,所以$a+b=2x^{2}-3(x^{2}+x)+4+5x-[3x-(x+x^{2})+1]=2x^{2}-3x^{2}-3x+4+5x-(3x-x-x^{2}+1)=-x^{2}+4+2x-(2x-x^{2}+1)=-x^{2}+4+2x-2x+x^{2}-1=3≠0$,所以a与b不是关于0的平衡数.

答案：
(1)①1 ②$x-1$[提示:
(1)①因为$2+1=3$,所以2与1是关于3的平衡数.②因为$4-x+x-1=3$,所以$4-x$与$x-1$是关于3的平衡数.]
(2)解:因为$a=2x^{2}-3(x^{2}+x)+4,b=5x-[3x-(x+x^{2})+1]$,所以$a+b=2x^{2}-3(x^{2}+x)+4+5x-[3x-(x+x^{2})+1]=2x^{2}-3x^{2}-3x+4+5x-(3x-x-x^{2}+1)=-x^{2}+4+2x-(2x-x^{2}+1)=-x^{2}+4+2x-2x+x^{2}-1=3≠0$,所以a与b不是关于0的平衡数.

11. (2024·吉林长春期末)有这样一道题目：“先化简,再求值：$( 2x^{3} - 3x^{2}y - 2xy^{2} ) - 2 ( x^{3} - xy^{2} + y^{3} ) + 3 ( x^{2}y - y^{3} )$,其中 $ x = \frac{1}{3}$,$y = - 2$。”粗心的龙龙在计算时把“$ x = \frac{1}{3}$”错抄成“$ x = \frac{1}{7}$”,但他计算的结果却是正确的。请通过计算说明理由,并求出这个代数式的值。

答案： 解:原式$=2x^{3}-3x^{2}y-2xy^{2}-2x^{3}+2xy^{2}-2y^{3}+3x^{2}y-3y^{3}=(2-2)x^{3}+(-3+3)x^{2}y+(-2+2)xy^{2}+(-2-3)y^{3}=-5y^{3}$,所以代数式的值与$x$的取值无关,所以粗心的龙龙在计算时把“$x=\frac {1}{3}$”错抄成“$x=\frac {1}{7}$”,但他计算的结果是正确的.当$x=\frac {1}{3},y=-2$时,原式$=-5×(-2)^{3}=-5×(-8)=40.$