《2025年全科王同步课时练习七年级数学上册人教版》

12. 我国古代《易经》一书记载,远古时期,人们通过在绳子上打结来记录数量. 如图,一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结,并采用七进制(如$2513 = 2× 7^{3} + 5× 7^{2} + 1× 7^{1} + 3$)来记录孩子自出生后的天数. 由图可知,孩子自出生后的天数是(565)

A.$1435$天
B.$565$天
C.$13$天
D.$465$天

答案： B[提示:由图可知:$1× 7^{3}+4× 7^{2}+3× 7^{1}+5=1× 343+4× 49+3× 7+5=343+196+21+5=565$(天).即孩子自出生后的天数是565天.]

13. 定义一种新运算：$a※b = b^{2} - ab$,如：$2※3 = 3^{2} - 2× 3 = 3$,则计算$(-1※2)※(-4)$的结果为(40)
A.$-3$
B.$8$
C.$15$
D.$40$

答案： D[提示:根据题中的新定义得$(-1※2)※(-4)=[2^{2}-(-1× 2)]※(-4)=6※(-4)=(-4)^{2}-6× (-4)=16+24=40.]$

14. 若$m$,$n满足\vert m + 3\vert + (n - 2)^{2} = 0$,则$(m + n)^{2023} = $-1。

答案： -1[提示:因为$|m+3|+(n-2)^{2}=0$,所以$m+3=0,n-2=0$,所以$m=-3,n=2$,所以$(-3+2)^{2023}=-1.]$

15. 观察下列等式,找出规律,然后在空格处填上具体的数字.
$1 + 3 = 4 = 2^{2}$；
$1 + 3 + 5 = 9 = 3^{2}$；
$1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4^{2}$；
$1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5^{2}$；
$1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 = 6^{2}$。
根据规律填空：$1 + 3 + 5 + 7 + 9 + … + 2023 = $$1012^{2}$。

答案： $1012^{2}$[提示:根据材料可知,和的结果是首数与末数的平均数的平方.所以$1+3+5+7+9+\cdots +2023=(\frac {1+2023}{2})^{2}=1012^{2}.]$

16. 计算.
(1)$-3^{2}÷ 2\frac{1}{4}× (-\frac{1}{2})^{2} - 2× (-\frac{1}{3})$；
(2)$(\frac{1}{4} + \frac{1}{6} - \frac{1}{2})× 12 + (-2)^{3}÷ (-4)$；
(3)$3^{2} + (-2 - 5)÷ 7 - \vert -\frac{1}{4}\vert× (-2)^{4} + (-1)^{2023}$。

答案： 解:
(1)原式$=-9× \frac {4}{9}× \frac {1}{4}+\frac {2}{3}=-1+\frac {2}{3}=-\frac {1}{3}.$
(2)原式$=\frac {1}{4}× 12+\frac {1}{6}× 12-\frac {1}{2}× 12+(-8)÷ (-4)=3+2-6+2=1.$
(3)原式$=9+(-7)÷ 7-\frac {1}{4}× 16-1=9-1-4-1=3.$

17. (2024·青岛莱西市期中)观察下列各式：
$1^{3} = 1 = \frac{1}{4}× 1^{2}× 2^{2}$；
$1^{3} + 2^{3} = 9 = \frac{1}{4}× 2^{2}× 3^{2}$；
$1^{3} + 2^{3} + 3^{3} = 36 = \frac{1}{4}× 3^{2}× 4^{2}$；
$1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + 4^{3} = 100 = \frac{1}{4}× 4^{2}× 5^{2}$。
用你发现的规律解答下面的问题：
(1)$1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + … + 19^{3} + 20^{3}$；
(2)$10^{3} + 11^{3} + 12^{3} + … + 19^{3} + 20^{3}$。

答案： 解:
(1)$1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +19^{3}+20^{3}=\frac {1}{4}× 20^{2}× 21^{2}=\frac {1}{4}× 400× 441=44100.$
(2)$10^{3}+11^{3}+12^{3}+\cdots +19^{3}+20^{3}=(1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +20^{3})-(1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +9^{3})=44100-\frac {1}{4}× 9^{2}× 10^{2}=44100-2025=42075.$