《2025年课时练人民教育出版社九年级数学上册人教版》

1. 下面是用配方法解一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)$ 的过程，请把解题过程补充完整。
移项，得 $ax^2 + bx = $-c$$。
二次项系数化为 1，得 $x^2 + \frac{b}{a}x = $-$\frac{c}{a}$$$。
配方，得 $x^2 + \frac{b}{a}x + $$(\frac{b}{2a})^{2}$$ = $-$\frac{c}{a}$$ + $$(\frac{b}{2a})^{2}$$$，即 $(x + $$\frac{b}{2a}$$)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$。※

答案： 1.-c -$\frac{c}{a}$ $(\frac{b}{2a})^{2}$ -$\frac{c}{a}$ $(\frac{b}{2a})^{2}$ $\frac{b}{2a}$

2. 上面※式能直接开平方求解吗？如果不能，那么在什么条件下，才能运用直接开平方法求出方程的根？

答案： 2.不能.只有当$\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}} \geqslant 0$时，才能运用直接开平方法求出方程的根.

3. 因为 $a \neq 0$，所以 $4a^2 ＞ 0$。
(1) 当 $b^2 - 4ac ＞ 0$ 时，$\frac{b^2 - 4ac}{4a^2} ＞ 0$，$x_1 = $$\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$$$，$x_2 = $$\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$$$；
(2) 当 $b^2 - 4ac = 0$ 时，$\frac{b^2 - 4ac}{4a^2} $=$ 0$，$x_1 = x_2 = $-$\frac{b}{2a}$$$；
(3) 当 $b^2 - 4ac ＜ 0$ 时，$\frac{b^2 - 4ac}{4a^2} ＜ 0$，方程 无实数根。

答案： 3.
(1)$\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ $\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
(2)= -$\frac{b}{2a}$
(3)无实数根

1. 根的判别式
一般地，式子 $b^2 - 4ac$ 叫做一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)$ 根的判别式，通常用希腊字母“$\Delta$”表示它，即 $\Delta = b^2 - 4ac$。
(1) 当 $\Delta ＞ 0$ 时，方程有 两个不相等 的实数根；
(2) 当 $\Delta = 0$ 时，方程有 两个相等 的实数根；
(3) 当 $\Delta ＜ 0$ 时，方程 无 实数根。

答案： 1.
(1)两个不相等
(2)两个相等
(3)无

2. 公式法
(1) 当 $\Delta \geq 0$ 时，方程 $ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)$ 的实数根可写为 $x = $$\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$$$ 的形式，这个式子叫做一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的求根公式。
(2) 把一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)$ 的系数 $a$，$b$，$c$ 的值直接代入 求根公式，从而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。

答案： 2.
(1)$\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
(2)求根公式

1. 用公式法解一元二次方程 $3x^2 - 2x = -3$ 时，首先要确定 $a$，$b$，$c$ 的值，下列叙述正确的是(D)

A.$a = 3$，$b = 2$，$c = 3$
B.$a = -3$，$b = 2$，$c = 3$
C.$a = 3$，$b = -2$，$c = -3$
D.$a = 3$，$b = -2$，$c = 3$

答案： 1.D

2. 一元二次方程 $x^2 - 4x + 4 = 0$ 的根的情况是(B)

A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.有一个实数根
D.无实数根

答案： 2.B