《2025年课时练人民教育出版社九年级数学上册人教版》

3. 下列关于 $x$ 的一元二次方程中，有实数根的方程是 ①②④。
① $x^2 - 1 = 0$；② $x^2 + 1 = -2x$；③ $x^2 + 2x + 3 = 0$；④ $x^2 + 2x = 3$。

答案： 3.①②④

【例 1】用公式法解下列方程：
(1) $4x^2 + 4x - 1 = -10 - 8x$；
(2) $6x^2 + 6 = 4\sqrt{6}x$。
解：

答案： 【例 1】解:
(1)将方程变形,得$4x^{2}+12x+9=0$.因为$a=4$,$b=12$,$c=9$,所以$\Delta =b^{2}-4ac=12^{2}-4× 4× 9=0$.所以$x=\frac{-12\pm 0}{2× 4}=-\frac{3}{2}$.所以原方程的根是$x_{1}=x_{2}=-\frac{3}{2}$.
(2)原方程变形为$6x^{2}-4\sqrt{6}x+6=0$,即$3x^{2}-2\sqrt{6}x+3=0$.因为$a=3$,$b=-2\sqrt{6}$,$c=3$,所以$\Delta =(-2\sqrt{6})^{2}-4× 3× 3=-12＜0$.所以此方程无实数根.

1. 用公式法解下列方程：
(1) $x^2 - 2x - 1 = 0$；
(2) $x^2 + 2\sqrt{3}x = -3$。

答案： 1. （1）
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$。
在方程$x^{2}-2x - 1 = 0$中，$a = 1$，$b=-2$，$c=-1$。
先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac$，将$a = 1$，$b=-2$，$c=-1$代入可得：
$\Delta=(-2)^{2}-4×1×(-1)$
$=4 + 4$
$=8$。
再代入求根公式：
$x=\frac{-(-2)\pm\sqrt{8}}{2×1}=\frac{2\pm2\sqrt{2}}{2}=1\pm\sqrt{2}$。
所以$x_{1}=1+\sqrt{2}$，$x_{2}=1 - \sqrt{2}$。
2. （2）
先将方程$x^{2}+2\sqrt{3}x=-3$化为一般形式$x^{2}+2\sqrt{3}x + 3 = 0$。
此时$a = 1$，$b = 2\sqrt{3}$，$c = 3$。
计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac$：
$\Delta=(2\sqrt{3})^{2}-4×1×3$
$=12-12$
$=0$。
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$：
$x=\frac{-2\sqrt{3}\pm\sqrt{0}}{2×1}=-\sqrt{3}$。
所以$x_{1}=x_{2}=-\sqrt{3}$。
综上，（1）$x_{1}=1+\sqrt{2}$，$x_{2}=1 - \sqrt{2}$；（2）$x_{1}=x_{2}=-\sqrt{3}$。

【例 2】关于 $x$ 的一元二次方程 $k^2x^2 + (2k - 3)x + 1 = 0$ 有两个实数根，则 $k$ 的取值范围是 $k \leqslant \frac{3}{4}$,且$k\neq 0$。
【一题多变】
1. (改变条件) 若把方程“有两个实数根”改为“有两个不相等的实数根”，则 $k$ 的取值范围是 $k＜\frac{3}{4}$,且$k\neq 0$。
2. (改变条件) 关于 $x$ 的方程 $k^2x^2 + (2k - 3)x + 1 = 0$ 有实数根，则 $k$ 的取值范围是 $k \leqslant \frac{3}{4}$。

答案： 【例2】答案:$k \leqslant \frac{3}{4}$,且$k\neq 0$
[一题多变]
1.$k＜\frac{3}{4}$,且$k\neq 0$ 2.$k \leqslant \frac{3}{4}$

2. (山东淄博中考) 若关于 $x$ 的一元二次方程 $kx^2 - 2x - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则实数 $k$ 的取值范围是(B)

A.$k ＞ -1$
B.$k ＞ -1$，且 $k \neq 0$
C.$k ＜ -1$
D.$k ＜ -1$ 或 $k = 0$

答案： 2.B

【例 3】(甘肃白银中考) 已知关于 $x$ 的方程 $x^2 + mx + m - 2 = 0$。
(1) 若此方程的一个根为 1，求 $m$ 的值；
(2) 求证：不论 $m$ 取何实数，此方程都有两个不相等的实数根。
思考 1：已知方程的根，如何求方程中参数的值？
思考 2：如何证明一元二次方程有两个不相等的实数根？
解：

答案： 【例 3】思考1:把原方程的根代入方程,把原方程转化为一个关于参数的新方程,再解这个新方程即可.
思考2:只要证明该一元二次方程根的判别式恒为正数即可.
(1)解:把$x=1$代入方程$x^{2}+mx+m-2=0$,得$1+m+m-2=0$,解得$m=\frac{1}{2}$.
(2)证明:$\Delta =m^{2}-4(m-2)=(m-2)^{2}+4$.因为$(m-2)^{2}\geqslant 0$,所以$(m-2)^{2}+4＞0$,即$\Delta ＞0$,所以不论$m$取何实数,此方程都有两个不相等的实数根.