《2025年课时练人民教育出版社九年级数学上册人教版》

1. 方程 $x^2 = x$ 的解是(C)

A.$x = 1$
B.$x = 0$
C.$x_1 = 1, x_2 = 0$
D.$x_1 = -1, x_2 = 0$

答案： 1.C

2. 在下列各题的横线上填写适当的解法。
① 解方程 $2x^2 + 5x = 0$，用因式分解法较适宜；
② 解方程 $(5x - 3)^2 = 7$，用直接开平方法较适宜。

答案： 2.①因式分解 ②直接开平方

3. 一元二次方程 $(x - 3)(x - 5) = 0$ 可转化为两个一元一次方程x-3=0，x-5=0。

答案： 3.x-3=0 x-5=0

【例 1】用因式分解法解方程：
（1）$x^2 + 5x = 0$；
（2）$x^2 - 6x = -9$；
（3）$3x(3x + 1) = 6x + 2$；
（4）$(2x + 1)^2 - (x - 1)^2 = 0$。
解：

（一题多解）试用其他方法解方程 $(2x + 1)^2 - (x - 1)^2 = 0$。

答案： （1）x₁=0,x₂=-5；（2）x₁=x₂=3；（3）x₁=-1/3,x₂=2/3；（4）x₁=0,x₂=-2；（一题多解）方法1:因为(2x+1)²-(x-1)²=0,所以(2x+1)²=(x-1)²,所以2x+1=±(x-1).当2x+1=x-1时,得x=-2;当2x+1=-(x-1)时,得x=0.所以x₁=-2,x₂=0. 方法2:原方程可化为x²+2x=0.用因式分解法、公式法、配方法都可得x₁=0,x₂=-2.

1. (福建宁德中考)一元二次方程 $x(x + 3) = 0$ 的根是x₁=0,x₂=-3。

答案： 1.x₁=0,x₂=-3

2. 用因式分解法解下列方程：
(1)$x + 1 = x(x + 1)$；
(2)$(2x - 1)^2 - x^2 = 0$。

答案： $(1)$ 解方程$x + 1 = x(x + 1)$
解：
将方程移项可得$x + 1 - x(x + 1)=0$。
提取公因式$(x + 1)$，得到$(x + 1)(1 - x)=0$。
根据“若$ab = 0$，则$a = 0$或$b = 0$”，可得$x + 1 = 0$或$1 - x = 0$。
当$x + 1 = 0$时，解得$x=-1$；当$1 - x = 0$时，解得$x = 1$。
$(2)$ 解方程$(2x - 1)^2 - x^2 = 0$
解：
根据平方差公式$a^2-b^2=(a + b)(a - b)$，其中$a = 2x - 1$，$b = x$，则原方程可化为$(2x - 1 + x)(2x - 1 - x)=0$，即$(3x - 1)(x - 1)=0$。
根据“若$ab = 0$，则$a = 0$或$b = 0$”，可得$3x - 1 = 0$或$x - 1 = 0$。
当$3x - 1 = 0$时，$3x=1$，解得$x=\frac{1}{3}$；当$x - 1 = 0$时，解得$x = 1$。
综上，$(1)$中方程的解为$x_1=-1$，$x_2 = 1$；$(2)$中方程的解为$x_1=\frac{1}{3}$，$x_2 = 1$。

【例 2】我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法、直接开平方法、配方法和公式法。请选择你认为适当的方法解下列方程：
（1）$x^2 - 3x + 1 = 0$；
（2）$(x - 1)^2 = 3$；
（3）$(3x - 4)^2 = 9x - 12$；
（4）$x^2 - 2x = 4$。
解：

答案： （1）x₁=(3+√5)/2,x₂=(3-√5)/2；（2）x₁=1+√3,x₂=1-√3；（3）x₁=4/3,x₂=7/3；（4）x₁=1+√5,x₂=1-√5