《2025年课时练人民教育出版社九年级数学上册人教版》

10. 如图 22.1.4 - 9 所示，在平面直角坐标系中，正方形 $ OABC $ 的边长为 $ 2 $，点 $ A,C $ 分别在 $ y $ 轴的负半轴和 $ x $ 轴的正半轴上，抛物线经过点 $ A,B $ 和 $ D(4,-\frac{2}{3}) $。求抛物线对应的函数解析式。

答案： 10.解:抛物线对应的函数解析式为$y=\frac{1}{6}x²-\frac{1}{3}x-2.$

11. 如图 22.1.4 - 10，已知二次函数 $ y = ax^{2}-4x + c $ 的图象经过点 $ A $ 和点 $ B $。
(1) 求该二次函数的解析式；
(2) 写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；
(3) 点 $ P(m,m) $ 与点 $ Q $ 均在该函数图象上（其中 $ m ＞ 0 $），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求 $ m $ 的值及点 $ Q $ 到 $ x $ 轴的距离。

答案： 11.解:
(1)该二次函数的解析式为$y=x²-4x-6.$　
(2)对称轴为直线$x=2$,顶点坐标为$(2,-10).$　
(3)$m=6$.点Q到x轴的距离为6.

12. 如果两个二次函数的图象关于 $ y $ 轴对称，我们就称这两个二次函数互为“关于 $ y $ 轴对称二次函数”。如图 22.1.4 - 11 所示，二次函数 $ y_{1}=x^{2}+2x + 2 $ 与 $ y_{2}=x^{2}-2x + 2 $ 是“关于 $ y $ 轴对称二次函数”。
(1) 直接写出图 22.1.4 - 11 中“关于 $ y $ 轴对称二次函数”图象所具有的共同特点。
(2) 二次函数 $ y = 2(x + 2)^{2}+1 $ 的“关于 $ y $ 轴对称二次函数”解析式为y=2(x-2)²+1；二次函数 $ y = a(x - h)^{2}+k $ 的“关于 $ y $ 轴对称二次函数”解析式为y=a(x+h)²+k。
(3) 在平面直角坐标系中，记“关于 $ y $ 轴对称二次函数”的图象与 $ y $ 轴的交点为 $ A $，它们的两个顶点分别为 $ B,C $，且 $ BC = 6 $，顺次连接点 $ A,B,O,C $ 得到一个面积为 $ 24 $ 的菱形，求满足题意的“关于 $ y $ 轴对称二次函数”的函数解析式。

答案： 12.解:
(1)题图中“关于y轴对称二次函数”图象所具有的共同特点是开口方向及开口大小相同，顶点关于y轴对称.　
(2)$y=2(x-2)²+1$　$y=a(x+h)²+k$　
(3)如答图22.1.4−2.由$BC=6$,顺次连接点A,B,O,C得到一个面积为24的菱形，得$OA=8$,所以A点坐标为$(0,8)$,B点的坐标为$(-3,4).$设左侧抛物线对应的函数解析式为$y=a(x+3)²+4$,将A点坐标代入,得$9a+4=8$,解得$a=\frac{4}{9}$,所以$y=\frac{4}{9}(x+3)²+4.$故二次函数$y=\frac{4}{9}(x+3)²+4$与$y=\frac{4}{9}(x-3)²+4$是满足题意的“关于y轴对称二次函数”.根据对称性，开口向下的抛物线也符合题意，故二次函数$y=-\frac{4}{9}(x+3)²-4$与二次函数$y=-\frac{4}{9}(x-3)²-4$也是满足题意的“关于y轴对称二次函数”.