《2025年课时练人民教育出版社九年级数学上册人教版》

【例 3】(湖北十堰中考)已知关于$x$的方程$x^2 + (2k - 1)x + k^2 - 1 = 0$有两个实数根$x_1,x_2$.
(1) 求实数$k$的取值范围；
(2) 若$x_1,x_2$满足$x_1^2 + x_2^2 = 16 + x_1x_2$，求实数$k$的值.
解：

答案： 1. （1）求实数$k$的取值范围：
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
在方程$x^{2}+(2k - 1)x + k^{2}-1 = 0$中，$a = 1$，$b=(2k - 1)$，$c = k^{2}-1$。
因为方程有两个实数根，所以$\Delta=(2k - 1)^{2}-4(k^{2}-1)\geq0$。
展开$(2k - 1)^{2}-4(k^{2}-1)$：
根据完全平方公式$(m - n)^{2}=m^{2}-2mn + n^{2}$，$(2k - 1)^{2}=4k^{2}-4k + 1$。
则$(2k - 1)^{2}-4(k^{2}-1)=4k^{2}-4k + 1-4k^{2}+4$。
化简得$-4k + 5\geq0$。
移项得$4k\leq5$，解得$k\leq\frac{5}{4}$。
2. （2）求实数$k$的值：
根据韦达定理，对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，若方程的两根为$x_{1}$和$x_{2}$，则$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$。
在方程$x^{2}+(2k - 1)x + k^{2}-1 = 0$中，$x_{1}+x_{2}=-(2k - 1)=1 - 2k$，$x_{1}x_{2}=k^{2}-1$。
因为$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=16 + x_{1}x_{2}$，根据完全平方公式$(x_{1}+x_{2})^{2}=x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}$，则$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}$。
所以$(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=16 + x_{1}x_{2}$，即$(x_{1}+x_{2})^{2}=16 + 3x_{1}x_{2}$。
把$x_{1}+x_{2}=1 - 2k$，$x_{1}x_{2}=k^{2}-1$代入$(x_{1}+x_{2})^{2}=16 + 3x_{1}x_{2}$得：
$(1 - 2k)^{2}=16+3(k^{2}-1)$。
展开$(1 - 2k)^{2}$得$1-4k + 4k^{2}$，则$1-4k + 4k^{2}=16+3k^{2}-3$。
移项得$4k^{2}-3k^{2}-4k+1 - 16 + 3 = 0$。
合并同类项得$k^{2}-4k - 12 = 0$。
因式分解得$(k - 6)(k + 2)=0$。
所以$k - 6 = 0$或$k + 2 = 0$，解得$k = 6$或$k=-2$。
又因为$k\leq\frac{5}{4}$，所以$k=-2$。
综上，（1）$k$的取值范围是$k\leq\frac{5}{4}$；（2）$k$的值为$-2$。

5. 已知关于$x$的方程$x^2 - 6x + k = 0$的两根分别是$x_1,x_2$，且满足$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = 3$，则$k$的值是2.

答案： 5.2

6. 已知关于$x$的一元二次方程$2x^2 - mx - 2m + 1 = 0$的两根的平方和是$\frac{29}{4}$，求$m$的值.

答案： 6.解:m的值为3.

1. (湖北黄冈中考)若方程$3x^2 - 4x - 4 = 0$的两个实数根分别为$x_1,x_2$，则$x_1 + x_2 = $(D)

A.-4
B.3
C.$-\frac{4}{3}$
D.$\frac{4}{3}$

答案： 1.D

2. (山东枣庄中考)已知关于$x$的方程$x^2 + 3x + a = 0$有一个根为 -2，则另一个根为(B)

A.5
B.-1
C.2
D.-5

答案： 2.B

3. (山东威海中考)已知$x_1,x_2$是关于$x$的方程$x^2 + ax - 2b = 0$的两个实数根，且$x_1 + x_2 = -2,x_1 \cdot x_2 = 1$，则$b^a$的值是(A)

A.$\frac{1}{4}$
B.$-\frac{1}{4}$
C.4
D.-1

答案： 3.A

4. (四川眉山中考)已知一元二次方程$x^2 - 3x - 2 = 0$的两个实数根为$x_1,x_2$，则$(x_1 - 1)(x_2 - 1)$的值是-4.

答案： 4.-4

5. 写出二次项系数为 1，且两个实数根分别为 1 和 -2 的一元二次方程的一般形式$x^{2}+x-2=0$.

答案： 5.$x^{2}+x-2=0$

6. (湖北黄石中考)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - 4x - m^2 = 0$.
(1) 求证：该方程有两个不等的实数根；
(2) 若该方程的两个实数根$x_1,x_2$满足$x_1 + 2x_2 = 9$，求$m$的值.

答案： 6.
(1)证明:$\Delta=(-4)^{2}-4×1×(-m^{2})=16+4m^{2}$. 因为$m^{2}\geq0$,所以$16+4m^{2}＞0$, 所以该方程有两个不相等的实数根.
(2)解:$m=\pm\sqrt{5}$.