《2025年课时练人民教育出版社九年级数学上册人教版》

1.如图24.1.2-3，已知$\odot O$的直径$AB\perp CD$于点E，则下列结论不一定正确的是 (B)

A.$CE = DE$
B.$AE = OE$
C.$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$
D.$\triangle OCE\cong\triangle ODE$
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答案： 1.B

2.如图24.1.2-4，在半径为5cm的$\odot O$中，弦$AB = 6cm$，$OC\perp AB$于点C，则$OC =$4cm.
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答案： 2.4cm

3.如图24.1.2-5所示，AB是$\odot O$的直径，$\angle BAC = 42^{\circ}$，点D是弦AC的中点，求$\angle DOC$的度数.
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答案： 3.解:因为O为圆心,D为弦AC的中点，所以根据垂径定理的推论可知，OD⊥AC，即∠ODC=90°.又因为∠BAC=42°,OA=OC,所以∠OCD=∠BAC=42°,所以∠DOC=180°−∠ODC−∠OCD=180°−90°−42°=48°.

【例1】如图24.1.2-6，M是CD的中点，$EM\perp CD$，若$CD = 4$，$EM = 8$，则$\overset{\frown}{CED}$所在圆的半径为$\frac{17}{4}$.
思考1：$EM\perp CD$，M是CD的中点图24.1.2-6点，EM经过圆心O吗？由垂径定理你能得到什么结论？
思考2：若设$\odot O$的半径长为x，你能用x表示出OM吗？
思考3：连接OC，得到的$\triangle OMC$是什么三角形？能得到什么相等关系？
【一题多变】
1.若已知圆的半径是5，$EM = 8$，则$CD =$8.
2.若已知圆的半径是5，$CD = 6$，则$OM =$4.

答案： 【例1】$\frac{17}{4}$【一题多变】1.8 2.4

垂径定理基本图形的四变量、两关系
1.四变量：如图24.1.2-7，弦长a，圆心到弦的距离d，半径r，弧的中点到弦的距离(弓形高)h，这四个变量知任意两个可求其他两个.

2.两关系：
(1)$(\frac{a}{2})^2 + d^2 = r^2$；
(2)$h + d = r$.

答案： 垂径定理基本图形中四变量关系如下：
1. 四变量：弦长$a$，圆心到弦的距离$d$，半径$r$，弓形高$h$。
2. 两关系：
(1)$(\frac{a}{2})^2 + d^2 = r^2$；
(2)$h + d = r$。
已知任意两个变量，可通过上述两关系联立方程求解其余两个变量。

1.如图24.1.2-8，在$\odot O$中，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，$OD = 13cm$，$AB = 24cm$，则$CD =$8$cm$.
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答案： 1.8

2.如图24.1.2-9，AB，CD都是$\odot O$的弦，且$AB// CD$，求证：$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$.
思考1：利用垂径定理，在圆中作出什么辅助线可以得到等弧？说明理由.
思考2：如图24.1.2-10，同一条直线上的两线段AB，BC有数量关系$AB + BC = AC$，那么同一圆弧上的两段弧$\overset{\frown}{AB}$，$\overset{\frown}{BC}$与$\overset{\frown}{AC}$有什么关系？
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答案： 2.证明:如答图24.1.2−1,过点O作EF⊥CD于点M,交AB于点N,交⊙O于点E,F.因为EF⊥CD,所以$\widehat{CF}=\widehat{DF}$.因为AB//CD,所以EF⊥AB,所以$\widehat{AF}=\widehat{BF}$.所以$\widehat{AF}-\widehat{CF}=\widehat{BF}-\widehat{DF}$,即$\widehat{AC}=\widehat{BD}$.