《2025年课时练人民教育出版社九年级数学上册人教版》

2. 若关于 $x$ 的方程 $(x - a)^2 + b = 0$ 有解，则 $b$ 的取值范围是$b\leq 0$。

答案： 2.$b\leq 0$

3. 若 $x^2 - 4x + p = (x + q)^2$，则 $p =$$4$，$q =$$-2$。

答案： 3.4 -2

4. 当 $k =$$1$或$-3$时，方程 $x^2 - 2(k + 1)x + 4 = 0$ 的左边是一个关于 $x$ 的完全平方式。

答案： 4.1或-3

5. 当 $x$ 取何实数时，代数式 $x^2 - 4x + 5$ 有最小值？最小值是多少？

答案： 5.解:因为$x^{2}-4x+5=(x-2)^{2}+1$,无论x取何实数,$(x-2)^{2}\geq 0$,所以当$x=2$时,$(x-2)^{2}+1$有最小值,最小值是1.

6. 若 $a$，$b$，$c$ 为 $\triangle ABC$ 的三边长，且满足 $a^2 + b^2 + c^2 - 6a - 8b - 10c + 50 = 0$，则 $\triangle ABC$ 的形状为(B)

A.等腰三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形

答案： 6.B

7. 用 $100$ m 长的篱笆围成一个矩形养鸡场，则该养鸡场的最大面积为$625$ $m^2$。

答案： 7.625

8. 解下列方程：
(1) $(x - 2)^2 = 4(x - 3)^2$；
(2) $9x^2 + 12x + 4 = 9$。

答案： $(1)$ 解方程$(x - 2)^2 = 4(x - 3)^2$
解：
对$(x - 2)^2 = 4(x - 3)^2$进行移项可得$(x - 2)^2-4(x - 3)^2 = 0$。
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，其中$a=x - 2$，$b = 2(x - 3)$，则$(x - 2)^2-4(x - 3)^2=(x - 2 + 2(x - 3))(x - 2-2(x - 3))=0$。
化简$x - 2 + 2(x - 3)$：
$\begin{aligned}x - 2 + 2(x - 3)&=x - 2+2x-6\\&=3x - 8\end{aligned}$
化简$x - 2-2(x - 3)$：
$\begin{aligned}x - 2-2(x - 3)&=x - 2-2x + 6\\&=-x + 4\end{aligned}$
所以$(3x - 8)(-x + 4)=0$，则$3x - 8 = 0$或$-x + 4 = 0$。
当$3x - 8 = 0$时，$3x=8$，解得$x=\frac{8}{3}$；
当$-x + 4 = 0$时，解得$x = 4$。
$(2)$ 解方程$9x^2 + 12x + 4 = 9$
解：
将方程$9x^2 + 12x + 4 = 9$变形为$(3x + 2)^2 = 9$（根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，这里$a = 3x$，$b = 2$）。
两边开平方得$3x + 2=\pm3$。
当$3x + 2 = 3$时，$3x=3 - 2$，$3x = 1$，解得$x=\frac{1}{3}$；
当$3x + 2=-3$时，$3x=-3 - 2$，$3x=-5$，解得$x=-\frac{5}{3}$。
综上，$(1)$中方程的解为$x_1=\frac{8}{3}$，$x_2 = 4$；$(2)$中方程的解为$x_1=\frac{1}{3}$，$x_2=-\frac{5}{3}$。

9. 证明：关于 $x$ 的方程 $(m^2 - 8m + 20)x^2 + 2mx + 1 = 0$，无论 $m$ 取何值，该方程都是一元二次方程。

答案： 9.证明:二次项系数$m^{2}-8m+20=m^{2}-8m+16+4=(m-4)^{2}+4.$因为$(m-4)^{2}\geq 0$,所以$(m-4)^{2}+4＞0$,即$m^{2}-8m+20＞0$.所以无论m取何值,该方程都是一元二次方程.

10. 选取二次三项式 $ax^2 + bx + c(a \neq 0)$ 中的两项，配成完全平方式的过程叫做配方。例如：
① 选取二次项和一次项配方：$x^2 - 4x + 2 = (x - 2)^2 - 2$；
② 选取二次项和常数项配方：$x^2 - 4x + 2 = (x - \sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2} - 4)x$ 或 $x^2 - 4x + 2 = (x + \sqrt{2})^2 - (4 + 2\sqrt{2})x$；
③ 选取一次项和常数项配方：$x^2 - 4x + 2 = (\sqrt{2}x - \sqrt{2})^2 - x^2$。
根据上述材料，解决下面的问题：
(1) 写出 $x^2 - 8x + 4$ 的两种不同形式的配方；
(2) 已知 $x^2 + y^2 + xy - 3y + 3 = 0$，求 $x^y$ 的值。

答案： 10.解:
(1)①$x^{2}-8x+4=x^{2}-8x+16-16+4=(x-4)^{2}-12.$②$x^{2}-8x+4=(x-2)^{2}+4x-8x=(x-2)^{2}-4x.$(答案不唯一,任选2个作答即可)
(2)$x^{y}=(-1)^{2}=1.$