《2025年课时练人民教育出版社九年级数学上册人教版》

1. 配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法。

答案： 1.完全平方

2. 配方时，方程两边同时加的数等于一次项系数一半的平方。

答案： 2.平方

1. 方程 $x^2 = 16$ 的解是(A)

A.$x = \pm 4$
B.$x = 4$
C.$x = -4$
D.$x = 16$

答案： 1.A

2. 方程 $(x + 1)^2 = 2$ 的解是$x_{1}=-1+\sqrt{2},x_{2}=-1-\sqrt{2}$。

答案： 2.$x_{1}=-1+\sqrt{2},x_{2}=-1-\sqrt{2}$

3. 用配方法解方程 $x^2 + 6x = -1$ 时，方程两边应同时加9，才能得 $(x + 3)^2 = 8$。

答案： 3.9

【例 1】用直接开平方法解下列方程：
(1) $4(x - 2)^2 - 25 = 0$；
(2) $\frac{1}{2}(2y + 2)^2 = 3$；
(3) $4x^2 + 4x + 1 = 5$。
解：

答案： 解:
(1)移项,得$4(x-2)^{2}=25.$两边同除以4,得$(x-2)^{2}=\frac{25}{4}.$由平方根的意义,得$x-2=\pm \frac{5}{2},$所以$x_{1}=\frac{9}{2},x_{2}=-\frac{1}{2}.$
(2)两边同乘2,得$(2y+2)^{2}=6.$由平方根的意义,得$2y+2=\pm \sqrt{6},$即$2y+2=\sqrt{6}$或$2y+2=-\sqrt{6}.$所以$y_{1}=\frac{-2+\sqrt{6}}{2},y_{2}=\frac{-2-\sqrt{6}}{2}.$
(3)原方程可化为$(2x+1)^{2}=5.$由平方根的意义,得$2x+1=\pm \sqrt{5},$即$2x+1=\sqrt{5}$或$2x+1=-\sqrt{5}.$所以$x_{1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2},x_{2}=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}.$

用直接开平方法解一元二次方程的三点注意
(1) 只有转化为如 $x^2 = a(a \geq 0)$ 形式的一元二次方程才可以用直接开平方法求解。
(2) $x^2 = a(a \geq 0)$ 中的 $x$ 可以是一个未知数，也可以是一个含有未知数的整式。
(3) 在用直接开平方法求解一元二次方程 $x^2 = a(a \geq 0)$ 时，开平方后，等号右边要加“$\pm$”号。

答案：
(1) 只有转化为如 $x^2 = a(a \geq 0)$ 形式的一元二次方程才可以用直接开平方法求解。
(2) $x^2 = a(a \geq 0)$ 中的 $x$ 可以是一个未知数，也可以是一个含有未知数的整式。
(3) 在用直接开平方法求解一元二次方程 $x^2 = a(a \geq 0)$ 时，开平方后，等号右边要加“$\pm$”号。

1. 解下列方程：
(1) $9x^2 - 25 = 0$；
(2) $9(x + 1)^2 = 25$。

答案： 1. （1）
解：
对于方程$9x^{2}-25 = 0$，
移项可得$9x^{2}=25$，
两边同时除以$9$，得$x^{2}=\frac{25}{9}$，
根据平方根的定义$x=\pm\sqrt{\frac{25}{9}}$，
所以$x=\pm\frac{5}{3}$。
2. （2）
解：
对于方程$9(x + 1)^{2}=25$，
两边同时除以$9$，得$(x + 1)^{2}=\frac{25}{9}$，
根据平方根的定义$x + 1=\pm\sqrt{\frac{25}{9}}$，即$x + 1=\pm\frac{5}{3}$，
当$x + 1=\frac{5}{3}$时，$x=\frac{5}{3}-1=\frac{5 - 3}{3}=\frac{2}{3}$；
当$x + 1=-\frac{5}{3}$时，$x=-\frac{5}{3}-1=-\frac{5 + 3}{3}=-\frac{8}{3}$。
综上，（1）中$x=\pm\frac{5}{3}$；（2）中$x=\frac{2}{3}$或$x=-\frac{8}{3}$。

【例 2】用配方法解一元二次方程：$2x^2 - 5x + 3 = 0$。
思考：解一元二次方程时，是先移项还是先把二次项系数化为 1？
解：

答案： 思考：解一元二次方程时，是先移项还是先把二次项系数化为 1？解:移项,得$2x^{2}-5x=-3,$二次项系数化为1,得$x^{2}-\frac{5}{2}x=-\frac{3}{2}.$配方,得$x^{2}-\frac{5}{2}x+(-\frac{5}{4})^{2}=-\frac{3}{2}+(-\frac{5}{4})^{2}$,即$(x-\frac{5}{4})^{2}=\frac{1}{16}.$由此可得$x-\frac{5}{4}=\pm \frac{1}{4}$,所以$x_{1}=1,x_{2}=\frac{3}{2}.$