《2025年课时练人民教育出版社九年级数学上册人教版》

【例 1】在平面直角坐标系中，点$A(2,-3)$与点$B(a,b + 2)$关于原点对称，求$a$，$b$的值.
解：

答案： 根据关于原点对称的点的坐标特点，知2+a=0，-3+b+2=0，所以a=-2，b=1.

1. 在平面直角坐标系中，若点$P(m,m - n)$与点$Q(-2,3)$关于原点对称，则点$M(m,n)$的坐标为(A)

A.$(2,5)$
B.$(-3,2)$
C.$(3,-2)$
D.$(3,2)$

答案： 1.A

【例 2】如图 23.2.3 - 2，$\triangle ABC$三个顶点的坐标分别为$A(1,1)$，$B(4,2)$，$C(3,4)$.
(1) 请画出$\triangle ABC$关于原点对称的图形$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$；
(2) 在$x$轴上找一点$P$，使$PA + PB$的值最小，请求出点$P$的坐标.
思考 1：要作出$\triangle ABC$关于原点对称的图形，需要作出哪些关键点？
思考 2：怎样在$x$轴上找一点，使它到$x$轴同一旁的两点的距离之和最小？
解：

答案：
思考1:分别作出点A，B，C关于原点的对称点A'，B'，C'即可.
思考2:找出其中一点关于x轴的对称点，连接对称点与另一个点，x轴与连线的交点即为所寻找的点.
(1)如答图23.2.3−2所示.
(2)如答图23.2.3−2所示，找出点A关于x轴的对称点A'(1, -1)，连接BA'，与x轴的交点即为P，点P的坐标为(2,0).

在平面直角坐标系内作一个图形关于原点对称的图形的“三字诀”
(1) 算：根据其横、纵坐标分别互为相反数的特点，先算出组成图形的关键点关于原点的对称点的坐标；
(2) 描：描出对称点；
(3) 连：依次连接这些对称点.

答案：
(1)算：根据关于原点对称的点的坐标特征，即两点的横、纵坐标分别互为相反数，计算组成图形的各关键点关于原点的对称点坐标；
(2)描：在平面直角坐标系中准确描出上述计算得到的对称点；
(3)连：按照原图形中关键点的连接顺序，依次连接所描出的对称点，得到原图形关于原点对称的图形。

2. 如图 23.2.3 - 3，在平面直角坐标系中，已知四边形 $ABCD$ 的四个顶点的坐标分别为 $A(-1,4)$，$B(-1,1)$，$C(-4,1)$，$D(-2,2)$.
(1) 若四边形 $ABCD$ 经过平移后得到四边形 $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$，已知点 $D_{1}$ 的坐标为$(-2,-3)$，请画出四边形 $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$，并写出顶点 $A_{1}$，$B_{1}$，$C_{1}$ 的坐标；
(2) 若四边形 $ABCD$ 和四边形 $A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}$ 关于原点 $O$ 成中心对称，请画出四边形 $A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}$，并写出四边形 $A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}$ 的各顶点的坐标；
(3) 将四边形 $ABCD$ 绕着点 $O$ 按顺时针方向旋转 $90^{\circ}$ 得到四边形 $A_{3}B_{3}C_{3}D_{3}$，请画出四边形 $A_{3}B_{3}C_{3}D_{3}$，并写出四边形 $A_{3}B_{3}C_{3}D_{3}$ 的各顶点的坐标.

答案：
2.
(1)如答图23.2.3−3，四边形A₁B₁C₁D₁即为所求.
点A₁的坐标为(-1, -1)，点B₁的坐标为(-1, -4)，点C₁的坐标为(-4, -4).
(2)如答图23.2.3−3，四边形A₂B₂C₂D₂即为所求.
A₂(1, -4)，B₂(1, -1)，C₂(4, -1)，D₂(2, -2).
(3)如答图23.2.3−3，四边形A₃B₃C₃D₃即为所求.
A₃(4,1)，B₃(1,1)，C₃(1,4)，D₃(2,2).