《2025年课时练人民教育出版社九年级数学上册人教版》

1. 完成下面表格.

答案： 1.2 3 5 6 4 -1 3 -4 -3 1 -2 -3

2. 上述表格中的三个方程的二次项系数的共同特点是什么？$x_1 + x_2$和$x_1x_2$与方程的系数之间有什么关系？

答案： 2.三个方程的二次项系数都是1.$x_{1}+x_{2}$等于一次项系数的相反数;$x_{1}x_{2}$等于常数项.

3. 完成下面的推导过程.
方程$ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)$，当$b^2 - 4ac \geq 0$时，方程的两根是$x_1 = $$\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，$x_2 = $$\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，则$x_1 + x_2 = $$\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$$ + $$\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$$ = $$-\frac{b}{a}$；$x_1x_2 = $$\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$$\cdot$$\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$$ = $$\frac{c}{a}$.

答案： 3.$\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ $\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ $\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ $\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ $-\frac{b}{a}$ $\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ $\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ $\frac{c}{a}$

1. 若$x_1,x_2$是关于$x$的方程$x^2 + px + q = 0$的两个实数根，则$x_1 + x_2 = $-p，$x_1x_2 = $q.

答案： 1.-p q

2. 若一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)$的两个根分别为$x_1,x_2$，则$x_1 + x_2 = $$-\frac{b}{a}$，$x_1x_2 = $$\frac{c}{a}$，即一元二次方程的两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.

答案： 2.$-\frac{b}{a}$ $\frac{c}{a}$ 一次项系数与二次项系数的比的相反数 常数项与二次项系数的比

1. (湖南怀化中考)若$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2 - 2x - 3 = 0$的两个根，则$x_1x_2$的值是(D)

A.2
B.-2
C.4
D.-3

答案： 1.D

2. 如果$x_1,x_2$是方程$x^2 - 2x - 1 = 0$的两个根，那么$x_1 + x_2 = $2，$x_1x_2 = $-1.

答案： 2.2 -1

【例 1】已知方程$2x^2 + 3x - 1 = 0$的两个根是$x_1,x_2$，不解方程，求下列各式的值：
(1)$x_1^2 + x_2^2$； (2)$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$.
思考 1：由$x_1,x_2$是方程$2x^2 + 3x - 1 = 0$的两个根，得$x_1 + x_2 = $$-\frac{3}{2}$，$x_1x_2 = $$-\frac{1}{2}$.
思考 2：把$x_1^2 + x_2^2$变形时，应用的是完全平方公式；把$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$进行通分，得$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = $$\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}$.
解：

答案： 思考 1:$-\frac{3}{2}$ $-\frac{1}{2}$ 思考 2:完全平方 $\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}$ 解:
(1)$\frac{13}{4}$.
(2)3.