《2025年课时练人民教育出版社九年级数学上册人教版》

【例3】如图24.2.2 - 19，AM切⊙O于点A，BD⊥AM于点D，BD交⊙O于点C，OC平分∠AOB。则∠B的度数为60°。
思考1：因为AM切⊙O于点A，则由切线的性质可以得到什么？
思考2：∠OCB与∠AOC的数量关系是什么？∠OCB与∠B的数量关系是什么？

答案： 思考1:OA⊥AM. 　思考2:∠OCB=∠AOC.∠OCB=∠B. 解析:因为AM是⊙O的切线，所以OA⊥AM,所以∠OAM=90°. 　又因为BD⊥AM,所以∠BDM=90°,所以∠OAM=∠BDM.所以AO//BD.所以∠AOC=∠BCO,∠AOB+∠B=180°. 又因为OB=OC,OC是∠AOB的平分线，所以∠B=∠BCO,∠BOC=∠AOC, 　所以∠BOC=∠BCO=∠B. 　所以∠B=60°. 　答案:60°

3. (四川自贡中考)如图24.2.2 - 20，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连接BC，若∠P = 40°，则∠B等于(B)

A.20°
B.25°
C.30°
D.40°

答案： 3.B

1. 如图24.2.2 - 21，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且CO = CD，则∠PCA =(D)

A.30°
B.45°
C.60°
D.67.5°

答案： 1.D

2. (浙江杭州中考)如图24.2.2 - 22，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，若∠ABT = 40°，则∠ATB =50°。

答案： 2.50°

3. （湖南衡阳中考节选）如图24.2.2 - 23，已知△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，BD⊥AB，交AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接CE，求证：CE是⊙O的切线。

答案： 3.证明:连接OC(图略),则OB=OC， 　所以∠OBC=∠OCB. 因为AB是⊙O的直径, 　所以∠ACB=90°,即△BCD是直角三角形, 　又因为点E是BD的中点, 　所以CE=$\frac{1}{2}$BD=BE, 　所以∠BCE=∠CBE, 　所以∠OCB+∠BCE=∠OBC+∠CBE=∠ABD=90°, 　所以∠OCE=90°,即OC⊥CE, 　所以CE是⊙O的切线.

1. 如图24.2.2 - 24，△ABC的边AC与⊙O相交于C，D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B，已知∠A = 30°，则∠C的大小是(A)

A.30°
B.45°
C.60°
D.40°

答案： 1.A