《2025年课时练人民教育出版社九年级数学上册人教版》

3. 二次函数$y = 3x^2 - 2x - 4$的二次项系数与常数项的和是 (B)

A.$1$
B.$-1$
C.$7$
D.$-6$

答案： 3.B

【例 1】下列函数中，哪些是二次函数？
(1)$y = 3x - 1$；
(2)$y = 3x^2 + 2$；
(3)$y = 3x^3 + 2x^2$；
(4)$y = 2x^2 - 2x + 1$；
(5)$y = x^2 - x(1 + x)$；
(6)$y = x^{-2} + x$。
解：

答案： 解:
(2)
(4)是二次函数.

1. 下列函数一定是二次函数的是 (A)

A.$y = 1 - \frac{2}{3}x^2$
B.$y = x^2 + \frac{1}{x}$
C.$y = (x + 1)^2 - x^2$
D.$y = ax^2 + bx + c$

答案： 1.A

【例 2】已知函数$y = (m + 2)x^{m^2 - 3m - 8} + 2x + 6$是关于$x$的二次函数，求满足条件的$m$的值。
思考 1：对于二次函数，其二次项系数$a$能不能为$0$，为什么？
思考 2：因为函数是关于$x$的二次函数，而$2x$项的次数为$1$，所以$(m + 2)x^{m^2 - 3m - 8}$的次数最高，即$m^2 - 3m - 8 =$2。
解：

答案： 思考1:$a≠0$,因为当$a=0$时,函数不再是二次函数. 思考2:2 解:根据题意可得,$m^{2}-3m-8=2$,且$m+2≠0$,解得$m=5$,即满足条件的 m 的值为5.

2. 若$y = (m + 1)x^{m^2 - m} + 3x$是关于$x$的二次函数，求$m$的值及函数解析式。

答案： 2. 解:$m=2,y=3x^{2}+3x.$

【例 3】某中学课外活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为$20$ $m$的篱笆围成。如图 22.1.1 - 1(示意图)，已知墙长为$12$ $m$，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为$x$ $m$。
(1) 若平行于墙的一边的长为$a$ $m$，直接写出$a$与$x$之间的函数解析式及自变量$x$的取值范围；
(2) 设苗圃园的面积为$y$ $m^2$，求$y$与$x$之间的函数解析式，并指明函数的类型；
(3) 当这个苗圃园的面积为$42$ $m^2$时，求$x$的值。
思考 1：$a$与$x$成什么函数？其中自变量$x$的取值范围受什么条件的限制？
思考 2：矩形的面积$=$长$×$宽，在本题中可表示为$y=ax$。
解：

答案： 思考1:a 与x 成一次函数关系,x 的取值要保证矩形苗圃园平行于墙的一边的长不大于墙长,且矩形的长和宽都大于0. 思考2:长 宽$y=ax$ 解:
(1)$a=20-2x(4≤x＜10).$
(2)y 与x 之间的函数解析式为$y=ax=(20-2x)x=-2x^{2}+20x(4≤x＜10).$ 所以 y 是x 的二次函数.
(3)$x=7.$