《2025年课时练人民教育出版社九年级数学上册人教版》

【例1】(湖北黄冈中考节选)已知：如图24.2.2 - 15，MN为⊙O的直径，ME是⊙O的弦，MD垂直于过点E的直线DE，垂足为点D，且ME平分∠DMN。
求证：DE是⊙O的切线。
思考1：因为DE与⊙O有公共点E，所以要证明DE是⊙O的切线，只需证明OE⊥DE。
思考2：因为已知MD⊥DE，所以可把证明直线与⊙O相切转化为证明MD//OE。
证明：
(一题多解)请尝试用其他方法证明。

答案：
思考1:OE⊥DE 思考2:OE 证明:因为OM=OE, 所以∠OME=∠OEM. 因为ME平分∠DMN, 所以∠OME=∠DME, 所以∠OEM=∠DME, 所以MD//OE. 因为MD⊥DE,所以OE⊥DE. 又因为OE为⊙O的半径，所以DE是⊙O 的切线. [一题多解] 证明:如答图24.2.2−3,连接NE 因为MN是⊙O的直径, 所以∠MEN=∠1+∠2=90°. 　　　　　　　　　　　 因为OM=OE, 所以∠1=∠4, 所以∠4+∠2=90°. 因为MD⊥DE,所以∠5+∠3=90°. 因为ME平分∠DMN,所以∠4=∠5， 所以∠2=∠3,所以∠1+∠3=90°, 即OE⊥DE. 因为OE是⊙O的半径, 所以DE是⊙O的切线.

1. （湖北咸宁中考节选）如图24.2.2 - 16，在△ABC中，AB = AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F。
求证：DF是⊙O的切线。

答案： 1.证明:连接OD(图略).因为OB=OD,所以∠B=∠ODB, 　又因为AB=AC,所以∠C=∠B, 　所以∠ODB=∠C.所以OD//AC. 　因为DF⊥AC,所以DF⊥OD,所以DF是⊙O的切线.

【例2】如图24.2.2 - 17，在Rt△ABC中，∠B = 90°，∠BAC的平分线交BC于点D，以D为圆心，DB的长为半径作⊙D。求证：AC与⊙D相切。
思考：根据题目中现有的条件，能否直接判断直线AC与⊙D有没有公共点？应用什么方法证明AC与⊙D相切？
证明：

答案： 思考:不能直接判断AC与⊙D有没有公共点.应证明圆心D到AC的距离等于⊙D的半径. 　证明:过点D作DF⊥AC于点F(图略).因为∠B=∠DFA=90°,AD平分∠BAC,所以BD=DF, 　所以AC与⊙D相切.

2. 如图24.2.2 - 18，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与AB，AD分别相交于点E，F，与BC交于点M，且OM⊥BC，求证：CD与⊙O相切。

答案： 2.证明:过点O作ON⊥CD,垂足为N(图略).因为正方形ABCD中，AC平分∠BCD，且ON⊥CD,OM⊥BC, 　所以ON=OM,所以点N在⊙O上.所以CD与⊙O相切.