《2025年课时练人民教育出版社九年级数学上册人教版》

【例1】为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长 $ 25 $ m）的空地上修建一个矩形绿化带 $ ABCD $，绿化带一边靠墙，另三边用总长为 $ 40 $ m 的栅栏围住（如图22.3 - 1）。设绿化带的 $ BC $ 边长为 $ x $ m，绿化带的面积为 $ y $ $ m^2 $。
(1) 求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数解析式，并求出自变量 $ x $ 的取值范围；
(2) 当 $ x $ 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？
思考1：自变量 $ x $ 的取值范围受什么条件的限制？
思考2：在用栅栏围成不同矩形绿化带的过程中，什么始终不变？
思考3：矩形的面积怎样计算？需利用什么求矩形面积的最大值？
解：
【一题多变】
如图22.3 - 2所示，若例1中墙长是 $ 18 $ m，当 $ x $ 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？

答案： 解:
(1)由题意,得$y=x\cdot\frac{40-x}{2}=-\frac{1}{2}x^{2}+20x$，x的取值范围是$0＜x\leqslant 25$.
(2)$y=-\frac{1}{2}x^{2}+20x=-\frac{1}{2}(x-20)^{2}+200$.因为$20＜25$，所以当$x=20$时，y有最大值200，即当$x=20$时，满足条件的绿化带的面积最大.【一题多变】解:当$x=18$时，满足条件的绿化带的面积最大.

1. 小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为 $ x $（单位：cm）的边与这条边上的高的和为 $ 40 $ cm，设这个三角形的面积为 $ S $（单位：$ cm^2 $）。
(1) 请直接写出 $ S $ 与 $ x $ 之间的函数解析式（不要求写出自变量 $ x $ 的取值范围）；
(2) 当 $ x $ 是多少时，这个三角形的面积 $ S $ 最大？最大面积是多少？

答案： 1.解:
(1)$S=\frac{1}{2}x(40-x)=-\frac{1}{2}x^{2}+20x$.
(2)当$x=20$时，三角形的面积S最大，最大面积是$200\ cm^{2}$.